Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13216
2023-07-20 
Даны три точки: $O, A, B$. Точка $X$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda : \mu$, считая от точки $A$. Выразите вектор $\bar{OX}$ через векторы $\bar{OA} = \bar{а}$ и $\bar{OB} = \bar{b}$.
Решение:
Представим вектор $\bar{OX}$ в виде $\bar{OX} = k_{1} \bar{а} + k_{2} \bar{b}$ и выразим коэффициенты разложения $k_{1}$ и $k_{2}$ через заданные числа $\lambda$ и $\mu$.
Проведём через точку $X$ прямые, параллельные $AO$ и $BO$. Полученный четырёхугольник $OA^{ \prime}XB^{ \prime}$ является параллелограммом, следовательно,
$\bar{OX} = \bar{OA}^{ \prime} + \bar{OB}^{ \prime} = k_{1} \bar{a} + k_{2} \bar{b}$.
Для того, чтобы найти значение $k_{1}$ применим теорему Фалеса ($XA^{ \prime} \parallel BO$):
$k_{1} = \frac{OA^{ \prime}}{OA} = \frac{BX}{AB} = \frac{ \mu}{ \mu + \lambda}$.
Также с помощью теоремы Фалеса ($XB^{ \prime} \parallel AO$) найдём значение $k_{2}$:
$k_{2} = \frac{OB^{ \prime}}{OB} = \frac{AX}{AB} = \frac{ \lambda}{ \mu + \lambda}$.
В результате
$\bar{OX} = \frac{ \mu}{ \mu + \lambda} \bar{a} + \frac{ \lambda}{ \mu + \lambda} \bar{ \lambda} = \frac{ \mu \bar{a} + \lambda \bar{b}}{ \mu + \lambda }$.
Даны три точки: $O, A, B$. Точка $X$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda : \mu$, считая от точки $A$. Выразите вектор $\bar{OX}$ через векторы $\bar{OA} = \bar{а}$ и $\bar{OB} = \bar{b}$.
Решение:
Представим вектор $\bar{OX}$ в виде $\bar{OX} = k_{1} \bar{а} + k_{2} \bar{b}$ и выразим коэффициенты разложения $k_{1}$ и $k_{2}$ через заданные числа $\lambda$ и $\mu$.
Проведём через точку $X$ прямые, параллельные $AO$ и $BO$. Полученный четырёхугольник $OA^{ \prime}XB^{ \prime}$ является параллелограммом, следовательно,
$\bar{OX} = \bar{OA}^{ \prime} + \bar{OB}^{ \prime} = k_{1} \bar{a} + k_{2} \bar{b}$.
Для того, чтобы найти значение $k_{1}$ применим теорему Фалеса ($XA^{ \prime} \parallel BO$):
$k_{1} = \frac{OA^{ \prime}}{OA} = \frac{BX}{AB} = \frac{ \mu}{ \mu + \lambda}$.
Также с помощью теоремы Фалеса ($XB^{ \prime} \parallel AO$) найдём значение $k_{2}$:
$k_{2} = \frac{OB^{ \prime}}{OB} = \frac{AX}{AB} = \frac{ \lambda}{ \mu + \lambda}$.
В результате
$\bar{OX} = \frac{ \mu}{ \mu + \lambda} \bar{a} + \frac{ \lambda}{ \mu + \lambda} \bar{ \lambda} = \frac{ \mu \bar{a} + \lambda \bar{b}}{ \mu + \lambda }$.
