Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13215
2023-07-20 
В окружность радиуса 1 вписан правильный четырнадцатиугольник. Найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого четырнадцатиугольника.
Решение:
Пусть $M$ - произвольная точка окружности, $A_{i}$ (где $i = 1, 2, \cdots, 14$) - вершины четырнадцатиугольника. Заметим, что вершины $A_{i}$ и $A_{i+7}$ (где $i =1, 2, \cdots, 7$) являются диаметрально противоположными и если точка $M$ не совпадает ни с $A_{i}$ ,ни с $A_{i+7}$, то $A_{i}A_{i+7}M$ - прямоугольный треугольник. В этом случае по теореме Пифагора
$MA_{i}^{2} + MA_{i+7}^{2} = 4$.
Если же $M = A_{i}$ (или $M = A_{i+7}$), то также
$MA_{i}^{2} + MA_{i + 7}^{2} =0^{2} +2^{2} =4$.
Всего у нас 7 таких пар, следовательно, сумма всех $MA_{i}^{2}$ равна 28.
Ответ. 28.
В окружность радиуса 1 вписан правильный четырнадцатиугольник. Найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого четырнадцатиугольника.
Решение:
Пусть $M$ - произвольная точка окружности, $A_{i}$ (где $i = 1, 2, \cdots, 14$) - вершины четырнадцатиугольника. Заметим, что вершины $A_{i}$ и $A_{i+7}$ (где $i =1, 2, \cdots, 7$) являются диаметрально противоположными и если точка $M$ не совпадает ни с $A_{i}$ ,ни с $A_{i+7}$, то $A_{i}A_{i+7}M$ - прямоугольный треугольник. В этом случае по теореме Пифагора
$MA_{i}^{2} + MA_{i+7}^{2} = 4$.
Если же $M = A_{i}$ (или $M = A_{i+7}$), то также
$MA_{i}^{2} + MA_{i + 7}^{2} =0^{2} +2^{2} =4$.
Всего у нас 7 таких пар, следовательно, сумма всех $MA_{i}^{2}$ равна 28.
Ответ. 28.
