Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13214
2023-07-20 
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, у которого $AB + BD \leq AC + CD$. Сравните длины отрезков $AB$ и $AC$.
Решение:
Здесь нам понадобится следующее вспомогательное утверждение: в любом выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше суммы двух противоположных сторон.
Для доказательства этого утверждения сложим два неравенства треугольника (для $\Delta ABO$ и $\Delta CDO$, где $O$ - точка пересечения диагоналей):
$AB < AO + BO, CD < CO + DO \Rightarrow AB + CD < AC + BD$,
что и требовалось доказать.
Сложив полученное неравенство с исходным неравенством $AB + BD \leq AC + CD$, получим:
$(AB + CD) + (AB + BD) < (AC + BD) + (AC + CD) \Leftrightarrow AB < AC$.
Ответ. $AB < AC$.
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, у которого $AB + BD \leq AC + CD$. Сравните длины отрезков $AB$ и $AC$.
Решение:
Здесь нам понадобится следующее вспомогательное утверждение: в любом выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше суммы двух противоположных сторон.
Для доказательства этого утверждения сложим два неравенства треугольника (для $\Delta ABO$ и $\Delta CDO$, где $O$ - точка пересечения диагоналей):
$AB < AO + BO, CD < CO + DO \Rightarrow AB + CD < AC + BD$,
что и требовалось доказать.
Сложив полученное неравенство с исходным неравенством $AB + BD \leq AC + CD$, получим:
$(AB + CD) + (AB + BD) < (AC + BD) + (AC + CD) \Leftrightarrow AB < AC$.
Ответ. $AB < AC$.
