Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13213
2023-07-20 
Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями $a$ и $b$ проведена прямая, параллельная основаниям. Найти ее отрезок, заключенный между боковыми сторонами.
Решение:
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Для того, чтобы выразить длину искомого отрезка $MN$ через длины оснований трапеции, будем использовать подобие треугольников с взаимно параллельными сторонами.
Пусть $x$ - длина отрезка $MO, h$ - высота трапеции, $h_{1}$ - высота треугольника $MBO$.
Из подобия треугольников $\Delta MBO \sim \Delta ABD$ и $\Delta AMO \sim \Delta ABC$ следует, что
$\begin{cases} \frac{x}{a} = \frac{h_{1}}{h}, \\ \frac{x}{b} = \frac{h - h_{1}}{h}, \end{cases} \Rightarrow \frac{x}{b} + \frac{x}{a} = 1 \Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}$,
то есть $MO = \frac{ab}{a + b}$. Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что $NO = \frac{ab}{a + b}$. В результате $MN = MO + NO = \frac{2ab}{a + b}$.
Ответ. $\frac{2ab}{a + b}$.
З а м е ч а н и е . По ходу решения этой задачи мы доказали, что отрезок, заключенный между боковыми сторонами произвольной трапеции, проведенный параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями $a$ и $b$ проведена прямая, параллельная основаниям. Найти ее отрезок, заключенный между боковыми сторонами.
Решение:
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Для того, чтобы выразить длину искомого отрезка $MN$ через длины оснований трапеции, будем использовать подобие треугольников с взаимно параллельными сторонами.
Пусть $x$ - длина отрезка $MO, h$ - высота трапеции, $h_{1}$ - высота треугольника $MBO$.
Из подобия треугольников $\Delta MBO \sim \Delta ABD$ и $\Delta AMO \sim \Delta ABC$ следует, что
$\begin{cases} \frac{x}{a} = \frac{h_{1}}{h}, \\ \frac{x}{b} = \frac{h - h_{1}}{h}, \end{cases} \Rightarrow \frac{x}{b} + \frac{x}{a} = 1 \Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}$,
то есть $MO = \frac{ab}{a + b}$. Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что $NO = \frac{ab}{a + b}$. В результате $MN = MO + NO = \frac{2ab}{a + b}$.
Ответ. $\frac{2ab}{a + b}$.
З а м е ч а н и е . По ходу решения этой задачи мы доказали, что отрезок, заключенный между боковыми сторонами произвольной трапеции, проведенный параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.
