Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13212
2023-07-20 
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 8 и 15. Найти среднюю линию трапеции.
Решение:
Рассмотрим трапецию $ABCD$, диагонали которой $AC = 15$ и $BD = 8$ взаимно перпендикулярны.
Заметим, что этим условиям удовлетворяет бесконечное множество различных трапеций, то есть, зная только диагонали и угол между ними, мы не сможем найти длины оснований. Однако нам они и не нужны, а нужна их полусумма.
Покажем, что искомая величина (средняя линия исходной трапеции) равна средней линии треугольника, боковые стороны которого равны диагоналям трапеции, а угол между этими сторонами - углу между диагоналями трапеции.
Отложим на прямой $AD$ отрезок $DE = b$. Так как в четырехугольнике $BCED$ стороны $BC$ и $DE$ параллельны и равны, то он является параллелограммом.
Следовательно, в треугольнике $ACE$ стороны $AC =15, CE = 8, AE = a + b$, причем $\angle ACE = \angle AOD = 90^{ \circ}$.
Средняя линия трапеции $ABCD$ равна средней линии треугольника $ACE$, равна
$\frac{a + b}{2} = \frac{AE}{2} = \frac{ \sqrt{AC^{2} + CE^{2}}}{2} = \frac{ \sqrt{15^{2} + 8^{2} } }{2} = \frac{17}{2}$.
Ответ. 8,5.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 8 и 15. Найти среднюю линию трапеции.
Решение:
Рассмотрим трапецию $ABCD$, диагонали которой $AC = 15$ и $BD = 8$ взаимно перпендикулярны.
Заметим, что этим условиям удовлетворяет бесконечное множество различных трапеций, то есть, зная только диагонали и угол между ними, мы не сможем найти длины оснований. Однако нам они и не нужны, а нужна их полусумма.
Покажем, что искомая величина (средняя линия исходной трапеции) равна средней линии треугольника, боковые стороны которого равны диагоналям трапеции, а угол между этими сторонами - углу между диагоналями трапеции.
Отложим на прямой $AD$ отрезок $DE = b$. Так как в четырехугольнике $BCED$ стороны $BC$ и $DE$ параллельны и равны, то он является параллелограммом.
Следовательно, в треугольнике $ACE$ стороны $AC =15, CE = 8, AE = a + b$, причем $\angle ACE = \angle AOD = 90^{ \circ}$.
Средняя линия трапеции $ABCD$ равна средней линии треугольника $ACE$, равна
$\frac{a + b}{2} = \frac{AE}{2} = \frac{ \sqrt{AC^{2} + CE^{2}}}{2} = \frac{ \sqrt{15^{2} + 8^{2} } }{2} = \frac{17}{2}$.
Ответ. 8,5.
