Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13211
2023-07-20 
В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен $60^{ \circ}$, а площадь равна $24 \sqrt{3}$, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
Пусть в трапеции $ABCD$ основания $AD = a, BC = b$, боковые стороны $AB = CD = c$. Опустим из вершины $B$ высоту $h$ на основание $AD$. Так как диаметр вписанной окружности равен $h$, то нам надо найти $BH$ из треугольника $ABH$.
По условию задачи площадь трапеции равна $24 \sqrt{3}$, в трапецию вписана окружность и $\angle BAH = 60^{ \circ}$, следовательно,
$\begin{cases} \frac{a + b}{2} h = 24 \sqrt{3}, \\ a + b = 2c, \\ \frac{h}{c} = s\in 60^{ \circ}; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} ch = 24 \sqrt{3}, \\ \frac{h}{c} = \frac{ \sqrt{3}}{2}; \end{cases} \Rightarrow h^{2} = 36 \Rightarrow h = 6$,
откуда радиус $r = \frac{h}{2} = 3$.
Ответ. 3 .
В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен $60^{ \circ}$, а площадь равна $24 \sqrt{3}$, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Решение:
Пусть в трапеции $ABCD$ основания $AD = a, BC = b$, боковые стороны $AB = CD = c$. Опустим из вершины $B$ высоту $h$ на основание $AD$. Так как диаметр вписанной окружности равен $h$, то нам надо найти $BH$ из треугольника $ABH$.
По условию задачи площадь трапеции равна $24 \sqrt{3}$, в трапецию вписана окружность и $\angle BAH = 60^{ \circ}$, следовательно,
$\begin{cases} \frac{a + b}{2} h = 24 \sqrt{3}, \\ a + b = 2c, \\ \frac{h}{c} = s\in 60^{ \circ}; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} ch = 24 \sqrt{3}, \\ \frac{h}{c} = \frac{ \sqrt{3}}{2}; \end{cases} \Rightarrow h^{2} = 36 \Rightarrow h = 6$,
откуда радиус $r = \frac{h}{2} = 3$.
Ответ. 3 .
