Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13210
2023-07-20 
Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Решение:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC = d_{1}, BD = d_{2}$, а стороны $AD = BC = a, AB = CD = b$.
Выразим длины диагоналей через длины сторон с помощью теоремы косинусов, примененной к треугольникам $ABC$ и $ABD$:
$\begin{cases} d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \angle ABC, \\ d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \angle BAD. \end{cases}$
Сложив эти уравнения и, заметив, что $\cos \angle ABC = \cos( \pi - \angle BAD) = - \cos \angle BAD$, получим требуемое равенство
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} =2a^{2} + 2b^{2}$.
Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Решение:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC = d_{1}, BD = d_{2}$, а стороны $AD = BC = a, AB = CD = b$.
Выразим длины диагоналей через длины сторон с помощью теоремы косинусов, примененной к треугольникам $ABC$ и $ABD$:
$\begin{cases} d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \angle ABC, \\ d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \angle BAD. \end{cases}$
Сложив эти уравнения и, заметив, что $\cos \angle ABC = \cos( \pi - \angle BAD) = - \cos \angle BAD$, получим требуемое равенство
$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} =2a^{2} + 2b^{2}$.
