Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13207
2023-07-20 
В окружность с центром в точке $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Известно, что $\angle AOB = 3 \angle COD$. Найти площадь круга и сравнить с числом 510, если $CD =10$.
Решение:
Так как треугольник $ACD$ вписан в окружность и длина стороны $CD$ известна, то для нахождения радиуса окружности надо найти величину угла $DAC$. Пусть диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $H$ и $\angle DAC = \alpha$. Так как вписанный угол равен половине центрального, а соответствующий центральный в три раза больше, то угол $ADB =3 \alpha$. Из прямоугольного треугольника $ADH$ получаем $\alpha + 3 \alpha = 90^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = \frac{45^{ \circ}}{2}$. Теперь с помощью теоремы синусов из треугольника $ADC$ определим радиус окружности:
$\frac{1)}{ \sin \alpha} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{5}{ \sin \frac{ \pi}{8}}$.
Следовательно, для искомой площади круга получаем
$S = \pi R^{2} = \frac{25 \pi}{ \sin^{2} \frac{ \pi}{8}} = \frac{ 50 \pi}{1 - \cos \frac{ \pi }{4}} = 50 \pi (2 + \sqrt{2} ) > 50 \cdot 3 \cdot (2 + 1, 4) = 510$.
Ответ. $S = 50 \pi \cdot (2 + \sqrt{2}) > 510$.
В окружность с центром в точке $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Известно, что $\angle AOB = 3 \angle COD$. Найти площадь круга и сравнить с числом 510, если $CD =10$.
Решение:
Так как треугольник $ACD$ вписан в окружность и длина стороны $CD$ известна, то для нахождения радиуса окружности надо найти величину угла $DAC$. Пусть диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $H$ и $\angle DAC = \alpha$. Так как вписанный угол равен половине центрального, а соответствующий центральный в три раза больше, то угол $ADB =3 \alpha$. Из прямоугольного треугольника $ADH$ получаем $\alpha + 3 \alpha = 90^{ \circ} \Leftrightarrow \alpha = \frac{45^{ \circ}}{2}$. Теперь с помощью теоремы синусов из треугольника $ADC$ определим радиус окружности:
$\frac{1)}{ \sin \alpha} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{5}{ \sin \frac{ \pi}{8}}$.
Следовательно, для искомой площади круга получаем
$S = \pi R^{2} = \frac{25 \pi}{ \sin^{2} \frac{ \pi}{8}} = \frac{ 50 \pi}{1 - \cos \frac{ \pi }{4}} = 50 \pi (2 + \sqrt{2} ) > 50 \cdot 3 \cdot (2 + 1, 4) = 510$.
Ответ. $S = 50 \pi \cdot (2 + \sqrt{2}) > 510$.
