Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13205
2023-07-20 
К двум окружностям с центрами $О$ и $О^{ \prime}$, касающимся внешним образом в точке $A$, проведена общая касательная $BC$ ($B$ и $C$ - точки касания). Доказать, что угол $BAC$ - прямой.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную линии центров $ОО^{ \prime}$, она будет общей касательной к окружностям. Обозначим точку ее пересечения с отрезком $BC$ через $M$.
Получим, что $BM = AM$ (как отрезки касательных к окружности с центром $О$) и $CM = AM$ (как отрезки касательных к окружности с центром $О^{ \prime}$). Следовательно, в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ равна половине стороны $BC$. Покажем, что угол $BAC$ - прямой.
В равнобедренных треугольниках $ABM$ и $ACM$ обозначим
$\alpha = \angle MAB = \angle ABM, \beta = \angle MAC = \angle ACM$,
тогда в треугольнике $ABC$ сумма углов равна $2 \alpha + 2 \beta = 180^{ \circ}$, следовательно, $\angle BAC = \angle + \beta = 90^{ \circ}$.
З а м е ч а н и е. В процессе решения задачи мы доказали ещё один полезный факт: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
К двум окружностям с центрами $О$ и $О^{ \prime}$, касающимся внешним образом в точке $A$, проведена общая касательная $BC$ ($B$ и $C$ - точки касания). Доказать, что угол $BAC$ - прямой.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную линии центров $ОО^{ \prime}$, она будет общей касательной к окружностям. Обозначим точку ее пересечения с отрезком $BC$ через $M$.
Получим, что $BM = AM$ (как отрезки касательных к окружности с центром $О$) и $CM = AM$ (как отрезки касательных к окружности с центром $О^{ \prime}$). Следовательно, в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ равна половине стороны $BC$. Покажем, что угол $BAC$ - прямой.
В равнобедренных треугольниках $ABM$ и $ACM$ обозначим
$\alpha = \angle MAB = \angle ABM, \beta = \angle MAC = \angle ACM$,
тогда в треугольнике $ABC$ сумма углов равна $2 \alpha + 2 \beta = 180^{ \circ}$, следовательно, $\angle BAC = \angle + \beta = 90^{ \circ}$.
З а м е ч а н и е. В процессе решения задачи мы доказали ещё один полезный факт: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
