Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13203
2023-07-20 
В равнобедренный треугольник $PMK$ с основанием $MK$ вписана окружность с радиусом $2 \sqrt{3}$. Высота $PH$ делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1 : 2, считая от вершины $P$. Найдите периметр треугольника $PMK$.
Решение:
Обозначим точку пересечения высоты с окружностью через $Q$. Поскольку треугольник $PMK$ равнобедренный, центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $PH$ и отрезок $QH$ является диаметром, то есть равен $2r$. По условию задачи $QH =2PQ$, значит $PQ = r$.
Пусть вписанная окружность касается стороны $MP$ в точке $A$. Тогда в прямоугольном треугольнике $APO$ катет $AO = r$, гипотенуза $PO =2r$, откуда $\sin \angle APO = \frac{1}{2}$ и $\angle APO = 30^{ \circ}$. Следовательно, $\angle MPK = 2 \angle APO = 60^{ \circ}$ и треугольник $PMK$ является равносторонним. Его периметр равен
$P_{ \Delta PMK} = 3 MP = 6AP = 6r ctg 30^{ \circ} = 36$.
Ответ. 36.
В равнобедренный треугольник $PMK$ с основанием $MK$ вписана окружность с радиусом $2 \sqrt{3}$. Высота $PH$ делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1 : 2, считая от вершины $P$. Найдите периметр треугольника $PMK$.
Решение:
Обозначим точку пересечения высоты с окружностью через $Q$. Поскольку треугольник $PMK$ равнобедренный, центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $PH$ и отрезок $QH$ является диаметром, то есть равен $2r$. По условию задачи $QH =2PQ$, значит $PQ = r$.
Пусть вписанная окружность касается стороны $MP$ в точке $A$. Тогда в прямоугольном треугольнике $APO$ катет $AO = r$, гипотенуза $PO =2r$, откуда $\sin \angle APO = \frac{1}{2}$ и $\angle APO = 30^{ \circ}$. Следовательно, $\angle MPK = 2 \angle APO = 60^{ \circ}$ и треугольник $PMK$ является равносторонним. Его периметр равен
$P_{ \Delta PMK} = 3 MP = 6AP = 6r ctg 30^{ \circ} = 36$.
Ответ. 36.
