ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-07-20   
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Известно, что отрезок $OE$ имеет длину 1, а вершина $C$ лежит на окружности, проходящей через точки $E, D, O$. Найти стороны и углы треугольника $EDO$.


Решение:



Пусть $\angle BAD = \angle DAC = \alpha , \angle ABE = \angle CBE = \beta$, тогда

$\angle ACB = \pi - 2 \alpha - 2 \beta, \angle DOE = \angle AOB = \pi - \alpha - \beta$.

Так как вокруг четырехугольника $CEOD$ можно описать окружность, то

$\angle ACB + \angle DOE = \pi \Rightarrow ( \pi - 2 \alpha - 2 \beta ) + ( \pi - \alpha - \beta ) = \pi \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{ \pi}{2} \Rightarrow \angle ACB = \frac{ \pi}{2} \Rightarrow \angle DOE = \frac{2 \pi}{3}$.

Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и $O$ есть точка пересечения двух из них, прямая $CO$ является третьей биссектрисой и

$\angle ECO = \angle DCO = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{ \pi}{6}$.

В силу того, что равные вписанные углы опираются на равные хорды, $DO = EO =1$. Следовательно, треугольник $DOE$ равнобедренный и

$\angle OED = \angle ODE = \frac{ \pi - \angle DOE}{2} = \frac{ \pi}{6}$.

Последний элемент треугольника $DOE$ можно найти с помощью теоремы косинусов. Получим $DE = \sqrt{З}$.
Ответ. $EO = DO = 1, DE = \sqrt{3}, \angle DOE = \frac{2 \pi}{3}, \angle OED = \angle ODE = \frac{ \pi}{6}$.