Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13199
2023-07-20 
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность. Параллельно его основанию $AC$ проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках $D$ и $E$. Найти радиус окружности, если $DE =8, AC =18$.
Решение:
Опустим из точек $D$ и $E$ перпендикуляры на сторону $AC$ - получим прямоугольник $DEMK$, в котором $KM = DE = 8$.
Диаметр окружности равен перпендикуляру $DK$, для вычисления длины которого сначала надо найти длину отрезка $AD$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ADK$ и $CEM$. Они равны по катету ($DK = EM$) и острому углу ($\angle A = \angle C$, так как $\Delta ABC$ равнобедренный). Из равенства треугольников следует равенство отрезков
$AK = MC = 5$.
Так как в описанном около окружности четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то
$AD + EC = DE + AC = 8 + 18 = 26 \Leftrightarrow AD = EC = \frac{26}{2} = 13$.
Диаметр окружности равен
$DK = \sqrt{AD^{2} - AK^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$,
Следовательно, радиус равен $\frac{12}{2}=6$.
Ответ. 6.
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность. Параллельно его основанию $AC$ проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках $D$ и $E$. Найти радиус окружности, если $DE =8, AC =18$.
Решение:
Опустим из точек $D$ и $E$ перпендикуляры на сторону $AC$ - получим прямоугольник $DEMK$, в котором $KM = DE = 8$.
Диаметр окружности равен перпендикуляру $DK$, для вычисления длины которого сначала надо найти длину отрезка $AD$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ADK$ и $CEM$. Они равны по катету ($DK = EM$) и острому углу ($\angle A = \angle C$, так как $\Delta ABC$ равнобедренный). Из равенства треугольников следует равенство отрезков
$AK = MC = 5$.
Так как в описанном около окружности четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то
$AD + EC = DE + AC = 8 + 18 = 26 \Leftrightarrow AD = EC = \frac{26}{2} = 13$.
Диаметр окружности равен
$DK = \sqrt{AD^{2} - AK^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$,
Следовательно, радиус равен $\frac{12}{2}=6$.
Ответ. 6.
