Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13097
2023-06-23 
Пусть $ABC$ - равносторонний треугольник, а $P$ - произвольная точка вписанной в него окружности. Докажите. что величина $(PA)^{2} + (PB)^{2} + (PC)^{2}$ постоянна.
Решение:
Введем в пространство декартову систему координат, и пусть $A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$ и $P(x, y, z)$ - соответственно вершины нашего треугольника и точка на окружности. Окружность, вписанная в этот треугольник, представляет собой линию пересечения сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c_{1}$ и плоскости $x + y + z = c_{2}$.
Следовательно,
$(PA)^{2} + (PB)^{2} + (PC)^{2} = (x- 1)^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 1 )^{2} = 3c_{1} - 2c_{2} + 3 =$ постоянной.
Это доказательство сохраняется и для произвольной окружности, концентрической с данной.
Пусть $ABC$ - равносторонний треугольник, а $P$ - произвольная точка вписанной в него окружности. Докажите. что величина $(PA)^{2} + (PB)^{2} + (PC)^{2}$ постоянна.
Решение:
Введем в пространство декартову систему координат, и пусть $A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$ и $P(x, y, z)$ - соответственно вершины нашего треугольника и точка на окружности. Окружность, вписанная в этот треугольник, представляет собой линию пересечения сферы $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c_{1}$ и плоскости $x + y + z = c_{2}$.
Следовательно,
$(PA)^{2} + (PB)^{2} + (PC)^{2} = (x- 1)^{2} + y^{2} + z^{2} + x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 1 )^{2} = 3c_{1} - 2c_{2} + 3 =$ постоянной.
Это доказательство сохраняется и для произвольной окружности, концентрической с данной.
