Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13075
2023-06-23 
Покажите, что если $k$ - произвольное действительное число, то кривая
$x^{4} + kx^{3}y - 6x^{2}y^{2} - kxy^{3} + y^{4} = 0$
делит окружность $x^{2} + y^{2} = 1$ на восемь равных частей.
Решение:
Применим обычные формулы поворота на $45^{ \circ}$:
$x = X \cos 45^{ \circ} - Y \sin 45^{ \circ} = \frac{X - Y}{ \sqrt{2}}$,
$y = X \sin 45^{ \circ} + Y \cos 45^{ \circ} = \frac{X + Y}{ \sqrt{2}}$.
Подставив данные выражения для $x$ и $y$ в наше уравнение, получим
$X^{4} + kX^{3}Y - 6X^{2}Y^{2} - kXY^{3} + Y^{4} = 0$.
Следовательно, вся картинка не изменится при повороте на $45^{ \circ}$, так что круг разрезается данной кривой на $360:45 = 8$ равных частей.
Левая часть данного уравнения распадается в произведение вида
$(x + ay)[(a + 1)x + (a - 1)y] (ax - y) [(a - 1)x - (a + 1)y] = 0$,
где
$k = \frac{(a^{4} - 6a^{2}+ 1)}{a(a^{2} - 1)}$.
Покажите, что если $k$ - произвольное действительное число, то кривая
$x^{4} + kx^{3}y - 6x^{2}y^{2} - kxy^{3} + y^{4} = 0$
делит окружность $x^{2} + y^{2} = 1$ на восемь равных частей.
Решение:
Применим обычные формулы поворота на $45^{ \circ}$:
$x = X \cos 45^{ \circ} - Y \sin 45^{ \circ} = \frac{X - Y}{ \sqrt{2}}$,
$y = X \sin 45^{ \circ} + Y \cos 45^{ \circ} = \frac{X + Y}{ \sqrt{2}}$.
Подставив данные выражения для $x$ и $y$ в наше уравнение, получим
$X^{4} + kX^{3}Y - 6X^{2}Y^{2} - kXY^{3} + Y^{4} = 0$.
Следовательно, вся картинка не изменится при повороте на $45^{ \circ}$, так что круг разрезается данной кривой на $360:45 = 8$ равных частей.
Левая часть данного уравнения распадается в произведение вида
$(x + ay)[(a + 1)x + (a - 1)y] (ax - y) [(a - 1)x - (a + 1)y] = 0$,
где
$k = \frac{(a^{4} - 6a^{2}+ 1)}{a(a^{2} - 1)}$.
