Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13063
2023-06-23 
Покажите геометрически, что среднее геометрическое $G$ двух чисел $a$ и $b$ равно среднему пропорциональному между средним арифметическим $A$ и средним гармоническим $H$ этих же чисел.
Решение:
На отрезке $BC$ (где $BE = a, EC = b$), как на диаметре, построим полуокружность с центром в $O$. Из точки $E$ восстановим перпендикуляр к $BC$, пересекающий полуокружность в точке $E$. Проведем отрезок $OD$ и из точки $E$ опустим на него перпендикуляр $EF$. Тогда радиус $OD = \frac{a + b}{2} = A$, а $ED = \sqrt{ab} = G$. Из подобных треугольников $OED$ и $EFD$ находим, что $DF : ED = ED : OD$. Таким образом, $DF = \frac{ED^{2}}{OD} = \frac{2ab}{a + b} = H$. Следовательно, $G^{2} = HA$. Более того, $A \geq G \geq H$.
Покажите геометрически, что среднее геометрическое $G$ двух чисел $a$ и $b$ равно среднему пропорциональному между средним арифметическим $A$ и средним гармоническим $H$ этих же чисел.
Решение:
На отрезке $BC$ (где $BE = a, EC = b$), как на диаметре, построим полуокружность с центром в $O$. Из точки $E$ восстановим перпендикуляр к $BC$, пересекающий полуокружность в точке $E$. Проведем отрезок $OD$ и из точки $E$ опустим на него перпендикуляр $EF$. Тогда радиус $OD = \frac{a + b}{2} = A$, а $ED = \sqrt{ab} = G$. Из подобных треугольников $OED$ и $EFD$ находим, что $DF : ED = ED : OD$. Таким образом, $DF = \frac{ED^{2}}{OD} = \frac{2ab}{a + b} = H$. Следовательно, $G^{2} = HA$. Более того, $A \geq G \geq H$.
