2023-06-21
Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведении противолежащих сторон.
Решение:
Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ проведем отрезок $AE$ так, чтобы точка $E$ лежала на диагонали $BD$ и чтобы угол $BAE$ равнялся углу $CAD$. Тогда треугольник $BEA$ окажется подобным треугольнику $CDA$, а треугольник $AED$ - подобным треугольнику $ABC$. Следовательно, $AC : AB = CD : BE$ и $AC: AD = BC : ED$. Отсюда $AC \cdot BE = AB \cdot CD$ и $AC \cdot ED = AD \cdot BC$. Складывая эти два равенства и замечая, что $BE + ED = BD$, получим
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$,
что и доказывает теорему Птолемея.
Кстати заметим, что, выбрав четырехугольник прямоугольным, мы тут же получим теорему Пифагора.