Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13019
2023-05-08 
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна $180^{\circ}$. Докажите, что $PB+PC\lt AD$.
Решение:
Построим на продолжении отрезка $PC$ за точку $C$ точку $K$ таким образом, что $CK=BP$. Треугольники $ABP$ и $DCK$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $DK=AP$ и $\angle BAP=\angle CDK$.
Построим параллелограмм $PKDL$. Поскольку
$\angle ABC+\angle BCD\gt\angle PBA+\angle PCD=180^{\circ},$
то
$\angle BAD+\angle ADC=360^{\circ}-(\angle ABC+\angle BCD)\lt180^{\circ}.$
Значит,
$\angle APD=180^{\circ}-(\angle PAD+\angle PDA)\gt\angle BAD+\angle ADC-(\angle PAD+\angle PDA)=(\angle BAD-\angle PAD)+(\angle ADC-\angle PDA)=\angle BAP+\angle PDC=\angle CDK+\angle PDC=\angle PDK=\angle DPL,$
т.е. $\angle APD\gt\angle DPL$. Следовательно, луч $PL$ проходит между сторонами угла $APD$. Но $AP=DK=LP$, поэтому точка $D$ будет с той же стороны от серединного перпендикуляра к $AL$, что и точка $L$. Поэтому (см. задачу 5393)
$AD\gt DL=PK=PC+PB.$
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна $180^{\circ}$. Докажите, что $PB+PC\lt AD$.
Решение:
Построим на продолжении отрезка $PC$ за точку $C$ точку $K$ таким образом, что $CK=BP$. Треугольники $ABP$ и $DCK$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $DK=AP$ и $\angle BAP=\angle CDK$.
Построим параллелограмм $PKDL$. Поскольку
$\angle ABC+\angle BCD\gt\angle PBA+\angle PCD=180^{\circ},$
то
$\angle BAD+\angle ADC=360^{\circ}-(\angle ABC+\angle BCD)\lt180^{\circ}.$
Значит,
$\angle APD=180^{\circ}-(\angle PAD+\angle PDA)\gt\angle BAD+\angle ADC-(\angle PAD+\angle PDA)=(\angle BAD-\angle PAD)+(\angle ADC-\angle PDA)=\angle BAP+\angle PDC=\angle CDK+\angle PDC=\angle PDK=\angle DPL,$
т.е. $\angle APD\gt\angle DPL$. Следовательно, луч $PL$ проходит между сторонами угла $APD$. Но $AP=DK=LP$, поэтому точка $D$ будет с той же стороны от серединного перпендикуляра к $AL$, что и точка $L$. Поэтому (см. задачу 5393)
$AD\gt DL=PK=PC+PB.$
