ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-05-08   
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD=4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD:AB$?


Решение:


Первый способ. Обозначим через $M$ середину стороны $CD$. Рассмотрим на луче $AB$ точку $K$, симметричную точке $D$ относительно прямой $AM$. Поскольку

$\angle ABC=\angle ADM=\angle AKM,$

то $BC\parallel KM$, и точка $K$ лежит на отрезке $AB$. Поскольку $CM=DM=KM$, то $\angle DKC=90^{\circ}$ (см. задачу 4846) и $KC\parallel AM$. Значит,

$\angle MAK=\angle CKB,~\angle AKM=\angle KBC.$

Треугольники $AKM$ и $KBC$ подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен

$k=\frac{KM}{BC}=\frac{CM}{BC}=2,$

поэтому $AD=AK=2KB$. Следовательно, $AD:AB=2:3$.
Второй способ (А.М.Лавров). Пусть $M$ - середина стороны $CD$, а прямые $BC$ и $AM$ пересекаются в точке $E$. Тогда

$\angle AMD=180^{\circ}-\angle DAM-\angle ADM=180^{\circ}-\angle BAE-\angle ABE=\angle AEB=\angle CME,$

Значит, $CE=CM=2BC$ и $BE=3BC$.
Поскольку $\angle AEB=\angle CME=\angle AMD$, треугольники $ABE$ и $ADM$ подобны по двум углам, следовательно

$\frac{AD}{AB}=\frac{DM}{BE}=\frac{2BC}{3BC}=\frac{2}{3}.$