Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 13016
2023-05-08 
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята такая точка $K$, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$.
Решение:
Поскольку треугольник $BAK$ прямоугольный и равнобедренный, $\angle AKB=45^{\circ}$.
Пусть биссектриса угла $CAD$ пересекает отрезок $BK$ в точке $N$. Треугольники $ANK$ и $ANC$ равны: $AN$ - общая сторона, $AC=AK$, $\angle CAN=\angle KAN$. Поэтому
$\angle NCA=\angle NKA=45^{\circ}.$
Значит, $CN$ - биссектриса прямого угла $ACD$, а $N$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ACD$. Таким образом, точка $N$ лежит на биссектрисе угла $ACD$ и на отрезке $BK$, т.е. совпадает с точкой $M$. Следовательно,
$\angle ACM=\angle ACN=45^{\circ}.$
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята такая точка $K$, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$.
Решение:
Поскольку треугольник $BAK$ прямоугольный и равнобедренный, $\angle AKB=45^{\circ}$.
Пусть биссектриса угла $CAD$ пересекает отрезок $BK$ в точке $N$. Треугольники $ANK$ и $ANC$ равны: $AN$ - общая сторона, $AC=AK$, $\angle CAN=\angle KAN$. Поэтому
$\angle NCA=\angle NKA=45^{\circ}.$
Значит, $CN$ - биссектриса прямого угла $ACD$, а $N$ - точка пересечения биссектрис треугольника $ACD$. Таким образом, точка $N$ лежит на биссектрисе угла $ACD$ и на отрезке $BK$, т.е. совпадает с точкой $M$. Следовательно,
$\angle ACM=\angle ACN=45^{\circ}.$
