Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12251
2023-03-07 
Мощность всех буровых установок на арктическом месторождении составляет 8 МВт. Для энергоснабжения буровых установок можно использовать газовые контейнерные мини-ТЭЦ с регулируемой мощностью. Максимальная мощность, которую может развить одна мини-ТЭЦ, составляет 8 МВт. Зависимость расхода топлива за час работы $Y$ ($м^{3}/ч$) от мощности $X$ (МВт) одной мини-ТЭЦ определяется по формуле
$Y = 0,4X^{3} - 4,5X^{2}+15X$
Если используется несколько мини-ТЭЦ, их мощности могут быть только равными для всех мини-ТЭЦ. Все мини-ТЭЦ работают на постоянной мощности в течение года без перерывов. Цена топлива для мини-ТЭЦ составляет 30 рублей за 1 $м^{3}$, стоимость одной мини-ТЭЦ составляет 1 миллион рублей.
Считая, что в году 365 дней, определите, сколько мини-ТЭЦ нужно использовать для энергоснабжения буровых установок и на какой мощности Х они должны работать, чтобы затраты в течение года на энергоснабжение (т.е. на покупку мини-ТЭЦ и закупку топлива) были минимальными.
Решение:
Общие затраты Р (руб.) в течение года составляют:
$F= 1000000m + 30 \cdot 24 \cdot 365 mY$
где $m$ - количество мини-ТЭЦ. Эти затраты зависят от двух переменных - расхода топлива, который зависит от выбранной мощности, и количества мини-ТЭЦ. Но очевидно, что общие затраты очень быстро растут с увеличением количества мини-ТЭЦ, и этот рост не будет компенсироваться снижением затрат на топливо за счет снижения его расхода при работе на мощности, меньше максимальной.
По этой причине достаточно рассмотреть отдельно несколько вариантов: с одной мини-ТЭЦ, с двумя мини-ТЭЦ, с тремя мини-ТЭЦ. После рассмотрения этих вариантов решить, нужно ли рассматривать дальнейшие варианты.
Вариант с одной мини-ТЭЦ в силу того, что ее мощность равна мощности потребителей, предполагает работу на максимальной мощности.
Другие варианты позволяют регулировать мощность мини-ТЭЦ, тем самым снижая расход топлива.
Определим для рассмотрения вариантов, при какой мощности достигается минимальный расход топлива на мини-ТЭЦ.
Найдем первую производную функции $Y(X)$:
$Y =1,2X^{2} - 9X +15$
приравняем ее к нулю, решим полученное квадратное уравнение. В результате получим значения $X = 2,5 МВт$ и $X = 5 МВт$, при которых производная равна нулю. Методом интервалов определим, что функция $Y(X)$ возрастает на промежутке $(- \infty; 2,5]$ и $[5; + \infty )$ и убывает на промежутке [2,5; 5]. Таким образом, точка минимума - $X = 5 МВт$, при этой мощности расход топлива $Y (2,5 МВт) = 15,625 м^{3}/ч$. Расход топлива при максимальной мощности мини-ТЭЦ У (8 МВт) = $36,8 м^{3}/ч$.
Теперь рассчитаем общие затраты за год в каждом из вариантов:
- При использовании одной мини-ТЭЦ и работе на максимальной мощности затраты составят 10 671 040 рублей.
- При использовании двух мини-ТЭЦ и работе на мощности 5 МВт каждая затраты составят 8 570 000 рублей.
- При использовании трех мини-ТЭЦ и работе на мощности 5 МВт каждая затраты составят 15 318 750 рублей.
Ответ: Для энергоснабжения нужно использовать две мини-ТЭЦ, мощность установить в 5 МВт.
Мощность всех буровых установок на арктическом месторождении составляет 8 МВт. Для энергоснабжения буровых установок можно использовать газовые контейнерные мини-ТЭЦ с регулируемой мощностью. Максимальная мощность, которую может развить одна мини-ТЭЦ, составляет 8 МВт. Зависимость расхода топлива за час работы $Y$ ($м^{3}/ч$) от мощности $X$ (МВт) одной мини-ТЭЦ определяется по формуле
$Y = 0,4X^{3} - 4,5X^{2}+15X$
Если используется несколько мини-ТЭЦ, их мощности могут быть только равными для всех мини-ТЭЦ. Все мини-ТЭЦ работают на постоянной мощности в течение года без перерывов. Цена топлива для мини-ТЭЦ составляет 30 рублей за 1 $м^{3}$, стоимость одной мини-ТЭЦ составляет 1 миллион рублей.
Считая, что в году 365 дней, определите, сколько мини-ТЭЦ нужно использовать для энергоснабжения буровых установок и на какой мощности Х они должны работать, чтобы затраты в течение года на энергоснабжение (т.е. на покупку мини-ТЭЦ и закупку топлива) были минимальными.
Решение:
Общие затраты Р (руб.) в течение года составляют:
$F= 1000000m + 30 \cdot 24 \cdot 365 mY$
где $m$ - количество мини-ТЭЦ. Эти затраты зависят от двух переменных - расхода топлива, который зависит от выбранной мощности, и количества мини-ТЭЦ. Но очевидно, что общие затраты очень быстро растут с увеличением количества мини-ТЭЦ, и этот рост не будет компенсироваться снижением затрат на топливо за счет снижения его расхода при работе на мощности, меньше максимальной.
По этой причине достаточно рассмотреть отдельно несколько вариантов: с одной мини-ТЭЦ, с двумя мини-ТЭЦ, с тремя мини-ТЭЦ. После рассмотрения этих вариантов решить, нужно ли рассматривать дальнейшие варианты.
Вариант с одной мини-ТЭЦ в силу того, что ее мощность равна мощности потребителей, предполагает работу на максимальной мощности.
Другие варианты позволяют регулировать мощность мини-ТЭЦ, тем самым снижая расход топлива.
Определим для рассмотрения вариантов, при какой мощности достигается минимальный расход топлива на мини-ТЭЦ.
Найдем первую производную функции $Y(X)$:
$Y =1,2X^{2} - 9X +15$
приравняем ее к нулю, решим полученное квадратное уравнение. В результате получим значения $X = 2,5 МВт$ и $X = 5 МВт$, при которых производная равна нулю. Методом интервалов определим, что функция $Y(X)$ возрастает на промежутке $(- \infty; 2,5]$ и $[5; + \infty )$ и убывает на промежутке [2,5; 5]. Таким образом, точка минимума - $X = 5 МВт$, при этой мощности расход топлива $Y (2,5 МВт) = 15,625 м^{3}/ч$. Расход топлива при максимальной мощности мини-ТЭЦ У (8 МВт) = $36,8 м^{3}/ч$.
Теперь рассчитаем общие затраты за год в каждом из вариантов:
- При использовании одной мини-ТЭЦ и работе на максимальной мощности затраты составят 10 671 040 рублей.
- При использовании двух мини-ТЭЦ и работе на мощности 5 МВт каждая затраты составят 8 570 000 рублей.
- При использовании трех мини-ТЭЦ и работе на мощности 5 МВт каждая затраты составят 15 318 750 рублей.
Ответ: Для энергоснабжения нужно использовать две мини-ТЭЦ, мощность установить в 5 МВт.
