Разделы 
Дополнительно
Задача по химии - 3956
2023-12-21 
Распределение частиц по скорости броуновского движения в соответствии с уравнением Максвелла-Больцмана позволяет найти долю частиц, имеющих определенную скорость движения в заданном интервале скоростей:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \pi \left [ \frac{m}{2 \pi kT} \right ]^{ \frac{3}{2} } v^{2} \cdot \Delta e^{ - \frac{mv^{2}}{2kT} }$.
Требуется рассчитать долю атомов водорода, имеющих скорость движения 12 км/с и, следовательно, способных покинуть атмосферу Земли, среди атомов, имеющих скорость в интервале от 11 до 13 км/с, на высоте, соответствующей верхней границе стандартной термосферы.
Решение:
Приведем уравнение, выражающее долю частиц, имеющих определенную скорость движения в заданном интервале скоростей, к уравнению:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \pi \left [ \frac{M}{2 \pi RT} \right ]^{ \frac{3}{2} } e^{ - \frac{Mv^{2}}{2RT} } v^{2} \Delta v$,
где $\frac{ \Delta N}{N}$ - доля частиц, имеющих заданную скорость; $M$ - молярная масса газообразных частиц, кг/моль (поскольку на верхней границе термосферы весь водород находится в атомарном состоянии, $M = 10^{-3} кг/моль$); $v$ - скорость движения частиц (по условию задачи $v = 12000 м/с$); $R$ - универсальная газовая постоянная [$R = 8,314 Дж/(моль \cdot К)]; T$ - температура, К (на высоте верхней границы термосферы $T = 1200^{ \circ} С$); $\Delta v$ -интервал скоростей движения, для которого проводится оценка доли частиц, м/с (по условию задачи $\Delta v = 13000 - 11000 = 2000м/с$).
Подставив необходимые значения в уравнение и выполнив вычисления, получим:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \cdot 3,14 \cdot \left [ \frac{10^{-3}}{2 \cdot 3,14 \cdot 8,31 (1200 + 273)} \right ]^{ \frac{3}{2} } \cdot 12000^{2} \cdot 2000 \cdot e^{ - \frac{10^{-3} \cdot 12000^{2}}{2 \cdot 8,31 \cdot (1200 + 273)} } = 0,015$.
Таким образом, 1,5% атомов водорода из имеющих скорость от 11 до 13 км/с могут иметь скорость более 12 км/с. Эти атомы способны преодолеть притяжение Земли и покинуть атмосферу нашей планеты.
Ответ: на высоте верхней границы термосферы доля атомов водорода, имеющих скорость 12 км/с, среди частиц со скоростью от 11 до 13 км/с равна 1,5%.
Распределение частиц по скорости броуновского движения в соответствии с уравнением Максвелла-Больцмана позволяет найти долю частиц, имеющих определенную скорость движения в заданном интервале скоростей:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \pi \left [ \frac{m}{2 \pi kT} \right ]^{ \frac{3}{2} } v^{2} \cdot \Delta e^{ - \frac{mv^{2}}{2kT} }$.
Требуется рассчитать долю атомов водорода, имеющих скорость движения 12 км/с и, следовательно, способных покинуть атмосферу Земли, среди атомов, имеющих скорость в интервале от 11 до 13 км/с, на высоте, соответствующей верхней границе стандартной термосферы.
Решение:
Приведем уравнение, выражающее долю частиц, имеющих определенную скорость движения в заданном интервале скоростей, к уравнению:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \pi \left [ \frac{M}{2 \pi RT} \right ]^{ \frac{3}{2} } e^{ - \frac{Mv^{2}}{2RT} } v^{2} \Delta v$,
где $\frac{ \Delta N}{N}$ - доля частиц, имеющих заданную скорость; $M$ - молярная масса газообразных частиц, кг/моль (поскольку на верхней границе термосферы весь водород находится в атомарном состоянии, $M = 10^{-3} кг/моль$); $v$ - скорость движения частиц (по условию задачи $v = 12000 м/с$); $R$ - универсальная газовая постоянная [$R = 8,314 Дж/(моль \cdot К)]; T$ - температура, К (на высоте верхней границы термосферы $T = 1200^{ \circ} С$); $\Delta v$ -интервал скоростей движения, для которого проводится оценка доли частиц, м/с (по условию задачи $\Delta v = 13000 - 11000 = 2000м/с$).
Подставив необходимые значения в уравнение и выполнив вычисления, получим:
$\frac{ \Delta N}{N} = 4 \cdot 3,14 \cdot \left [ \frac{10^{-3}}{2 \cdot 3,14 \cdot 8,31 (1200 + 273)} \right ]^{ \frac{3}{2} } \cdot 12000^{2} \cdot 2000 \cdot e^{ - \frac{10^{-3} \cdot 12000^{2}}{2 \cdot 8,31 \cdot (1200 + 273)} } = 0,015$.
Таким образом, 1,5% атомов водорода из имеющих скорость от 11 до 13 км/с могут иметь скорость более 12 км/с. Эти атомы способны преодолеть притяжение Земли и покинуть атмосферу нашей планеты.
Ответ: на высоте верхней границы термосферы доля атомов водорода, имеющих скорость 12 км/с, среди частиц со скоростью от 11 до 13 км/с равна 1,5%.
