2016-09-17
На полубесконечный гладкий стержень нанизано бесконечно много маленьких шариков. Массы шариков с нечётными номерами $M$, с чётными $(m + \delta m)$, причём $\delta m \ll m$ (см. рисунок). В начальный момент времени, когда первый шарик запустили по направлению ко второму со скоростью $v_{0}$, расстояние между соседними шариками равнялось $l_{0}$, а все шарики, кроме первого, покоились. Через какое время скорость самого быстрого из шариков станет меньше $(3/4)v_{0}$? Все удары абсолютно упругие.
Решение:
Рассмотрим процесс столкновения шарика массой $m_{1}$, движущегося с некоторой скоростью $u$, с покоящимся шариком массой $m_{2}$. Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
$m_{1}u = m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}, \frac{m_{1}u^{2}}{2} = \frac{m_{1}u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2}}{2}$.
Здесь $u_{1}$ и $u_{2}$ — скорости первого и второго шариков после столкновения. Из написанных уравнений найдём скорость второго шарика после столкновения:
$u_{2} = \frac{2m_{1}u}{m_{1} + m_{2}}$. (1)
Так как в нашем случае массы шариков почти равны $(|m_{1} — m_{2}|) = \delta m \ll m_{1},m_{2})$, то скорость шарика, который перед столкновением покоился, после столкновения незначительно отличается от скорости налетающего шарика, который, в свою очередь, после столкновения практически полностью теряет свою скорость. Поэтому после любого соударения самую большую скорость будет иметь самый удалённый от конца стержня движущийся шарик. Для того, чтобы найти, как изменяется с течением времени его скорость, рассмотрим процесс последовательных соударений шариков с порядковыми номерами $2i + 1, 2i + 2$ и $2i + 3 (i = 0, 1, 2, \cdots)$. Пусть в некоторый момент времени $(2i + 1)$-й шарик был самым быстрым и имел скорость $v_{2i+1} = v$. На основании (1) имеем, что скорость $(2i + 2)$-го
шарика после столкновения равна:
$v_{2i+2} = \frac{2m}{m+m+ \delta m} v_{2i+1} = \frac{m}{m + ( \delta m/2)} v_{2i+1}$,
а скорость $(2i + 3)$-го шарика после столкновения:
$v_{2i+3} = \frac{2(m + \delta m)}{m+m+ \delta m} v_{2i+2} = \frac{m + \delta m}{m + ( \delta m/2)} v_{2i+2}$.
Объединяя эти соотношения, получаем:
$v_{2i+3} = \frac{m(m + \delta m)}{m + (\delta m /2)} v_{2i+1} $.
Таким образом, скорость самого быстрого шарика в процессе двух последовательных соударений изменяется на
$\Delta v = v_{2i+3} - v_{2i+1} = - \frac{( \delta m)^{2}}{4(m + ( \delta m /2)^{2})} v_{2i+1} \approx - \left ( \frac{ \delta m}{2m} \right )^{2} v$.
Здесь мы пренебрегли величиной $\delta m/2$ по сравнению с $m$.
Итак, мы видим, что скорость самого быстрого шарика уменьшается, и её изменение на $\Delta v$ происходит за удвоенное время между последовательными столкновениями $\Delta t \approx 2l_{0}/v$. Поэтому
$\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = - \left ( \frac{ \delta m}{2m} \right )^{2} \frac{v^{2}}{2l_{0}}$.
Учитывая, что $\Delta v \ll v$, получаем:
$- \frac{ \Delta v}{v^{2}} \approx \Delta \left ( \frac{1}{v} \right ) = \frac{1}{2l_{0}} \left ( \frac{ \delta m}{2m} \right )^{2} \Delta t$,
откуда
$t = \frac{8m^{2}l_{0}}{( \delta m)^{2}} \left ( \frac{1}{v} - \frac{1}{v_{0}} \right )$.
Эта формула даёт зависимость скорости v самого быстрого шарика от времени $t$. Значит, скорость самого быстрого шарика станет равной $\frac{3}{4} v_{0}$ через время
$\tau = \frac{8m^{2}l_{0}}{( \delta m)^{2}} \left ( \frac{1}{3v_{0}/4} - \frac{1}{v_{0}} \right ) = \frac{8l_{0}}{3v_{0}} \left ( \frac{m}{ \delta m} \right )^{2}$.