Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 955
2016-09-17 
В неоднородной вязкой среде (см. рисунок) сила сопротивления, действующая на тело массой $m$, пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности $\alpha$ зависит от координаты тела $x$ в направлении движения (то есть выражение для силы сопротивления имеет вид $\vec{f} = \alpha(x)v \vec{v}$). Какой должна быть зависимость $\alpha(x)$, чтобы при любой начальной скорости, направленной вдоль оси $x$, тело, пущенное из точки $x = 0$, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте.
Решение:
Так как тело движется вдоль оси $x$, то его ускорение, в соответствии со вторым законом Ньютона, равно
$a_{x} = \frac{f_{x}}{m} = -frac{\alpha(x)}{m} v^{2}$.
Из условия задачи следует, что тело, пущенное в начальный момент времени из начала координат с начальной скоростью $v_{0}$, движется равнозамедленно. Обозначим ускорение тела $a_{x}$ при данных начальных условиях через $— a = const$. Координата тела $x$ и его скорость $v$ зависят от времени $t$ следующим образом:
$x = v_{0}t 0 \frac{at^{2}}{2}, v = v_{0} — at$.
Отсюда, с учётом предыдущей формулы, имеем:
$a = \frac{ \alpha(x)}{m}(v_{0} - at)^{2}$.
Поэтому
$\alpha(x) = \frac{ma}{(v_{0} - at)^{2}} = \frac{m}{ \frac{v_{0}^{2}}{a} - 2v_{0}t + at^{2}} = \frac{m}{2 \left ( \frac{v_{0}^{2}}{2a} - x \right )}$.
Таким образом, тело, пущенное из начала координат со скоростью $v_{0}$, может двигаться равнозамедленно только тогда, когда зависимость $\alpha(x)$ имеет вид:
$\alpha(x) =\frac{m}{2(X-x)}$,
где $X = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$ - некоторое положительное число.
Отметим, что $X$ имеет смысл расстояния, которое проходит тело от начала координат до полной остановки, и зависит только от свойств среды. При этом последнюю формулу следует понимать в том смысле, что тело, пущенное с некоторой скоростью $v_{0}$, движется с ускорением $a = v_{0}^{2}/(2X)$, которое определяется начальной скоростью и свойствами среды.
Нас не должно удивлять наличие в выражении для $\alpha(x)$ массы тела $m$. При другой массе $m^{ \prime}$, но тех же размерах, форме и начальной скорости тела его движение в среде с зависимостью $\alpha(x)$, соответствующей массе $m$, уже не будет равнозамедленным!
В неоднородной вязкой среде (см. рисунок) сила сопротивления, действующая на тело массой $m$, пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности $\alpha$ зависит от координаты тела $x$ в направлении движения (то есть выражение для силы сопротивления имеет вид $\vec{f} = \alpha(x)v \vec{v}$). Какой должна быть зависимость $\alpha(x)$, чтобы при любой начальной скорости, направленной вдоль оси $x$, тело, пущенное из точки $x = 0$, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте.
Решение:
Так как тело движется вдоль оси $x$, то его ускорение, в соответствии со вторым законом Ньютона, равно
$a_{x} = \frac{f_{x}}{m} = -frac{\alpha(x)}{m} v^{2}$.
Из условия задачи следует, что тело, пущенное в начальный момент времени из начала координат с начальной скоростью $v_{0}$, движется равнозамедленно. Обозначим ускорение тела $a_{x}$ при данных начальных условиях через $— a = const$. Координата тела $x$ и его скорость $v$ зависят от времени $t$ следующим образом:
$x = v_{0}t 0 \frac{at^{2}}{2}, v = v_{0} — at$.
Отсюда, с учётом предыдущей формулы, имеем:
$a = \frac{ \alpha(x)}{m}(v_{0} - at)^{2}$.
Поэтому
$\alpha(x) = \frac{ma}{(v_{0} - at)^{2}} = \frac{m}{ \frac{v_{0}^{2}}{a} - 2v_{0}t + at^{2}} = \frac{m}{2 \left ( \frac{v_{0}^{2}}{2a} - x \right )}$.
Таким образом, тело, пущенное из начала координат со скоростью $v_{0}$, может двигаться равнозамедленно только тогда, когда зависимость $\alpha(x)$ имеет вид:
$\alpha(x) =\frac{m}{2(X-x)}$,
где $X = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$ - некоторое положительное число.
Отметим, что $X$ имеет смысл расстояния, которое проходит тело от начала координат до полной остановки, и зависит только от свойств среды. При этом последнюю формулу следует понимать в том смысле, что тело, пущенное с некоторой скоростью $v_{0}$, движется с ускорением $a = v_{0}^{2}/(2X)$, которое определяется начальной скоростью и свойствами среды.
Нас не должно удивлять наличие в выражении для $\alpha(x)$ массы тела $m$. При другой массе $m^{ \prime}$, но тех же размерах, форме и начальной скорости тела его движение в среде с зависимостью $\alpha(x)$, соответствующей массе $m$, уже не будет равнозамедленным!
