Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 812
2016-09-04 
При каких сопротивлениях резистора $R$ в цепи, изображённой на рисунке, в случае размыкания рубильника $K$ может возникнуть дуговой разряд? Вольт-амперная характеристика дуги имеет вид:
$U=A + \frac{B}{I}$,
где $A =10 B, B = 100 B \cdot A$, электродвижущая сила батареи $\cal{E} = 100 В$. Какой ток установится в цепи, если $R = 8 Ом$?
Решение:
рис.1
рис.2
Заданная в условии вольт-амперная характеристика дуги представляет собой связь тока $I$ и равновесного напряжения $U_{e}$ дуги, то есть напряжения, при котором ток дуги стационарен, не меняется с течением времени:
$U_{e} = A + \frac{B}{I}$. (1)
Если при данном токе $I$ напряжение на дуге окажется меньше величины $U_{e}$, то ток будет уменьшаться со временем, и дуга может погаснуть. При слишком большом напряжении ток будет расти, что может привести к пробою. По закону Ома для участка цепи $1 - \cal{E} - 2$ (рис.1), по которому течёт тот же ток $I$, что и в дуге, $IR = \phi_{1} - \phi_{2} + \cal{E} = \cal{E} - U$, где $U = \phi_{2} - \phi_{1}$ - напряжение, подаваемое на дугу. Отсюда
$U = \cal{E} - IR $. (2)
Изобразим графически функции $U_{e}(I)$ и $U(I)$ (рис. 2). В точках $A$ и $E$ пересечения графиков подаваемое на дугу напряжение соответствует равновесному значению. Если графики не пересекаются (пунктирная прямая), то стационарного тока в дуге быть не может. Для нахождения координат точек $A$ и $E$ следует приравнять правые части выражений (1) и (2). Полученное квадратное уравнение
$I^{2}R + (A - \cal{E}) I + B = 0$ (3)
имеет действительные корни лишь при условии положительности дискриминанта, то есть при
$(A - \cal{E})^{2} – 4RB \geq > 0$, или $R \leq \frac{(A - \cal{E})^{2}}{4B} = 20,25 Ом$.
Только при таких сопротивлениях $R$ и возможно устойчивое горение дуги. Найден ответ на первый вопрос задачи.
Для ответа на второй вопрос следует вычислить корни уравнения (3):
$I_{1} = \frac{ \cal{E} – A - \sqrt{(A - \cal{E})^{2} - 4RB}}{2R} = 1,2 А$,
$I_{2} = \frac{ \cal{E} – A + \sqrt{(A - \cal{E})^{2} - 4RB}}{2R} = 10 А$.
Первый корень соответствует точке $A$ (рис.2), второй - точке $E$. Проанализируем устойчивость горения дуги при параметрах цепи, соответствующих этим точкам.
Рассмотрим точку $E$. Если ток дуги случайно увеличится, то состояние цепи будет соответствовать точке $C$. Напряжение, подаваемое на дугу, окажется меньше равновесного для дуги значения, ток начнёт уменьшаться, и состояние $E$ восстановится. При случайном уменьшении тока дуги (переход от точки $E$ к точке $D$) напряжение превысит равновесное значение, что приведёт к увеличению тока и восстановлению равновесия. Аналогичный анализ для точки $A$ приводит к заключению, что она соответствует неустойчивому горению. Итак, при заданном $R$ в цепи установится ток $I = 10 А$.
При каких сопротивлениях резистора $R$ в цепи, изображённой на рисунке, в случае размыкания рубильника $K$ может возникнуть дуговой разряд? Вольт-амперная характеристика дуги имеет вид:
$U=A + \frac{B}{I}$,
где $A =10 B, B = 100 B \cdot A$, электродвижущая сила батареи $\cal{E} = 100 В$. Какой ток установится в цепи, если $R = 8 Ом$?
Решение:
рис.1
рис.2
Заданная в условии вольт-амперная характеристика дуги представляет собой связь тока $I$ и равновесного напряжения $U_{e}$ дуги, то есть напряжения, при котором ток дуги стационарен, не меняется с течением времени:
$U_{e} = A + \frac{B}{I}$. (1)
Если при данном токе $I$ напряжение на дуге окажется меньше величины $U_{e}$, то ток будет уменьшаться со временем, и дуга может погаснуть. При слишком большом напряжении ток будет расти, что может привести к пробою. По закону Ома для участка цепи $1 - \cal{E} - 2$ (рис.1), по которому течёт тот же ток $I$, что и в дуге, $IR = \phi_{1} - \phi_{2} + \cal{E} = \cal{E} - U$, где $U = \phi_{2} - \phi_{1}$ - напряжение, подаваемое на дугу. Отсюда
$U = \cal{E} - IR $. (2)
Изобразим графически функции $U_{e}(I)$ и $U(I)$ (рис. 2). В точках $A$ и $E$ пересечения графиков подаваемое на дугу напряжение соответствует равновесному значению. Если графики не пересекаются (пунктирная прямая), то стационарного тока в дуге быть не может. Для нахождения координат точек $A$ и $E$ следует приравнять правые части выражений (1) и (2). Полученное квадратное уравнение
$I^{2}R + (A - \cal{E}) I + B = 0$ (3)
имеет действительные корни лишь при условии положительности дискриминанта, то есть при
$(A - \cal{E})^{2} – 4RB \geq > 0$, или $R \leq \frac{(A - \cal{E})^{2}}{4B} = 20,25 Ом$.
Только при таких сопротивлениях $R$ и возможно устойчивое горение дуги. Найден ответ на первый вопрос задачи.
Для ответа на второй вопрос следует вычислить корни уравнения (3):
$I_{1} = \frac{ \cal{E} – A - \sqrt{(A - \cal{E})^{2} - 4RB}}{2R} = 1,2 А$,
$I_{2} = \frac{ \cal{E} – A + \sqrt{(A - \cal{E})^{2} - 4RB}}{2R} = 10 А$.
Первый корень соответствует точке $A$ (рис.2), второй - точке $E$. Проанализируем устойчивость горения дуги при параметрах цепи, соответствующих этим точкам.
Рассмотрим точку $E$. Если ток дуги случайно увеличится, то состояние цепи будет соответствовать точке $C$. Напряжение, подаваемое на дугу, окажется меньше равновесного для дуги значения, ток начнёт уменьшаться, и состояние $E$ восстановится. При случайном уменьшении тока дуги (переход от точки $E$ к точке $D$) напряжение превысит равновесное значение, что приведёт к увеличению тока и восстановлению равновесия. Аналогичный анализ для точки $A$ приводит к заключению, что она соответствует неустойчивому горению. Итак, при заданном $R$ в цепи установится ток $I = 10 А$.
