Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 799
2016-09-04 
Между двумя плоскостями с постоянными температурами $T_{1}$ и $T_{2} (T_{1} > T_{2})$ находится идеальный газ с молярной массой $M$. Расстояние между плоскостями равно $H$. К верхней плоскости на невесомой пружине подвешен маленький шарик массой $m$, средняя плотность которого равна $\rho_{0}$. Длина пружины в недеформированном состоянии $L_{0}$. Коэффициент жёсткости пружины равен $k$. Температура линейно возрастает при удалении от нижней плоскости.
1. Найдите распределение плотности газа между плоскостями, считая, что давление газа между плоскостями везде одинаково и равно $p$.
2. Найдите давление в газе $p$, если в положении равновесия длина пружины равна $L_{0}$.
3. Найдите частоту малых колебаний шарика, считая, что при движении шарика газ не перемешивается и не оказывает сопротивления движению шарика.
Решение:
Для нахождения плотности газа применим уравнение состояния идеального газа $pV = m_{r}RT/M$ (уравнение Менделеева-Клапейрона). Из него следует
$\rho = \frac{m_{r}}{V} = \frac{M p}{RT}$ (1)
где $M$ - молярная масса газа, $m_{r}$ - масса газа в объёме $V, R$ - универсальная газовая постоянная. Зависимость плотности газа от координаты $x$ обусловлена распределением температуры газа (рис.). Учитывая, что температура между плоскостями изменяется линейно с изменением $x$, получим
$T = T(x) = \frac{T_{1}-T_{2}}{H} x + T_{2} $,
тогда (1) даёт
$\rho(x) = \frac{MpH}{R((T_{1} – T_{2})x + HT_{2})}$. (2)
В положении равновесия сумма всех сил, приложенных к шарику, равна нулю (рис.):
$m \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{a} = 0$,
где $M \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{F}$ - сила упругости, $\vec{F}_{1}$ - сила Архимеда. Условие равновесия имеет вид:
$-mg + k(L – L_{0}) + \rho g \frac{m}{ \rho_{0}} = 0$.
Поскольку $L = L_{0}$, получим $\rho = \rho_{0}$. После подстановки этого равенства, а также $x = H - L_{0}$, в (2) найдём
$p = \frac{ \rho_{0}R}{M} \left ( \frac{T_{1} – T_{2}}{H}(H – L_{0}) + T_{2} \right ) $.
Для нахождения частоты малых колебаний запишем динамическое уравнение движения шарика вблизи положения равновесия:
$m \ddot{x} = -k \xi + mg \frac{ \rho(x) - \rho_{0}}{ \rho_{0}}$, (3)
где $\xi = x - (H – L_{0})$ - малое отклонение шарика от положения равновесия, а соответствующее приращение плотности, найденное из (2), равно
$ \rho (x) - \rho_{0} = \frac{- MpH \xi (T_{1} – T_{2})}{R((T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2})^{2}}$.
После подстановки этих выражений динамическое уравнение принимает вид:
$ m \ddot{ \xi} = - \left ( k + \frac{mg \xi (T_{1} – T_{2})}{(T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2}} \right ) \xi$.
Отсюда находим искомую циклическую частоту малых колебаний
$ \omega = \sqrt{ \frac{1}{m} \left ( k + \frac{mg \xi (T_{1} – T_{2})}{(T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2}} \right ) } $.
Между двумя плоскостями с постоянными температурами $T_{1}$ и $T_{2} (T_{1} > T_{2})$ находится идеальный газ с молярной массой $M$. Расстояние между плоскостями равно $H$. К верхней плоскости на невесомой пружине подвешен маленький шарик массой $m$, средняя плотность которого равна $\rho_{0}$. Длина пружины в недеформированном состоянии $L_{0}$. Коэффициент жёсткости пружины равен $k$. Температура линейно возрастает при удалении от нижней плоскости.
1. Найдите распределение плотности газа между плоскостями, считая, что давление газа между плоскостями везде одинаково и равно $p$.
2. Найдите давление в газе $p$, если в положении равновесия длина пружины равна $L_{0}$.
3. Найдите частоту малых колебаний шарика, считая, что при движении шарика газ не перемешивается и не оказывает сопротивления движению шарика.
Решение:
Для нахождения плотности газа применим уравнение состояния идеального газа $pV = m_{r}RT/M$ (уравнение Менделеева-Клапейрона). Из него следует
$\rho = \frac{m_{r}}{V} = \frac{M p}{RT}$ (1)
где $M$ - молярная масса газа, $m_{r}$ - масса газа в объёме $V, R$ - универсальная газовая постоянная. Зависимость плотности газа от координаты $x$ обусловлена распределением температуры газа (рис.). Учитывая, что температура между плоскостями изменяется линейно с изменением $x$, получим
$T = T(x) = \frac{T_{1}-T_{2}}{H} x + T_{2} $,
тогда (1) даёт
$\rho(x) = \frac{MpH}{R((T_{1} – T_{2})x + HT_{2})}$. (2)
В положении равновесия сумма всех сил, приложенных к шарику, равна нулю (рис.):
$m \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{a} = 0$,
где $M \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{F}$ - сила упругости, $\vec{F}_{1}$ - сила Архимеда. Условие равновесия имеет вид:
$-mg + k(L – L_{0}) + \rho g \frac{m}{ \rho_{0}} = 0$.
Поскольку $L = L_{0}$, получим $\rho = \rho_{0}$. После подстановки этого равенства, а также $x = H - L_{0}$, в (2) найдём
$p = \frac{ \rho_{0}R}{M} \left ( \frac{T_{1} – T_{2}}{H}(H – L_{0}) + T_{2} \right ) $.
Для нахождения частоты малых колебаний запишем динамическое уравнение движения шарика вблизи положения равновесия:
$m \ddot{x} = -k \xi + mg \frac{ \rho(x) - \rho_{0}}{ \rho_{0}}$, (3)
где $\xi = x - (H – L_{0})$ - малое отклонение шарика от положения равновесия, а соответствующее приращение плотности, найденное из (2), равно
$ \rho (x) - \rho_{0} = \frac{- MpH \xi (T_{1} – T_{2})}{R((T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2})^{2}}$.
После подстановки этих выражений динамическое уравнение принимает вид:
$ m \ddot{ \xi} = - \left ( k + \frac{mg \xi (T_{1} – T_{2})}{(T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2}} \right ) \xi$.
Отсюда находим искомую циклическую частоту малых колебаний
$ \omega = \sqrt{ \frac{1}{m} \left ( k + \frac{mg \xi (T_{1} – T_{2})}{(T_{1} – T_{2})(H – L_{0}) + HT_{2}} \right ) } $.
