Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 740
2014-06-15 
Контур в форме квадрата со стороной $a$ имеет проводящую перемычку, делящую квадрат пополам. В левую и правую половины контура включены конденсаторы с емкостями $C, 2C$ и $3C, 4C$ (см. рисунок). Контур помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное его плоскости и квадратично возрастающее со временем $B(t) = \alpha t^{2}$, где $\alpha$ - известная постоянная. Какой заряд протечет по перемычке к моменту времени $\tau$?
Решение:
При изменении магнитного поля будет изменяться магнитный поток через контур, и это приведет к возникновению в контуре ЭДС. В результате конденсаторы приобретут некоторые заряды. Для их нахождения воспользуемся законом электромагнитной индукции и законом сохранения электрического заряда. Пусть левая обкладка конденсатора С приобретает заряд $q$, правая - заряд $-q$ (заряды обкладок конденсаторов будут обязательно равны по величине, поскольку это положение отвечает минимуму энергии конденсатора). Тогда по закону сохранения электрического заряда левая обкладка конденсатора 2С приобретет заряд $-q$, правая $-q$ (см. рисунок). Если при этом по перемычке в направлении, указанном на рисунке, протек заряд $\Delta q$, то обкладки конденсаторов $3C$ и $4C$ приобретут заряды $q + \Delta q$ и $-(q + \Delta q)$ так, как показано на рисунке По закону электромагнитной индукции сумма напряжений на конденсаторах в каждом контуре равна ЭДС индукции. Поэтому
$\frac{q}{C} + \frac{q}{2C} = \alpha t B a^{2}$; (1)
$\frac{q + \Delta q}{3C} + \frac{q + \Delta q}{4C} = \alpha t B a^{2}$,
где использовано то обстоятельство, что величина ЭДС в контуре есть производная магнитного потока по времени
$\frac{d \Phi}{dt} = 2 \alpha t BS = \alpha t B a^{2}$. (2)
Выражая заряд $q$ из первого уравнения системы (1) и подставляя его во второе, получим уравнение относительно неизвестного заряда $\Delta q$. Его решение дает
$\Delta q = \frac{22 \alpha t BC a^{2}}{21}$. (3)
Контур в форме квадрата со стороной $a$ имеет проводящую перемычку, делящую квадрат пополам. В левую и правую половины контура включены конденсаторы с емкостями $C, 2C$ и $3C, 4C$ (см. рисунок). Контур помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное его плоскости и квадратично возрастающее со временем $B(t) = \alpha t^{2}$, где $\alpha$ - известная постоянная. Какой заряд протечет по перемычке к моменту времени $\tau$?
Решение:
При изменении магнитного поля будет изменяться магнитный поток через контур, и это приведет к возникновению в контуре ЭДС. В результате конденсаторы приобретут некоторые заряды. Для их нахождения воспользуемся законом электромагнитной индукции и законом сохранения электрического заряда. Пусть левая обкладка конденсатора С приобретает заряд $q$, правая - заряд $-q$ (заряды обкладок конденсаторов будут обязательно равны по величине, поскольку это положение отвечает минимуму энергии конденсатора). Тогда по закону сохранения электрического заряда левая обкладка конденсатора 2С приобретет заряд $-q$, правая $-q$ (см. рисунок). Если при этом по перемычке в направлении, указанном на рисунке, протек заряд $\Delta q$, то обкладки конденсаторов $3C$ и $4C$ приобретут заряды $q + \Delta q$ и $-(q + \Delta q)$ так, как показано на рисунке По закону электромагнитной индукции сумма напряжений на конденсаторах в каждом контуре равна ЭДС индукции. Поэтому
$\frac{q}{C} + \frac{q}{2C} = \alpha t B a^{2}$; (1)
$\frac{q + \Delta q}{3C} + \frac{q + \Delta q}{4C} = \alpha t B a^{2}$,
где использовано то обстоятельство, что величина ЭДС в контуре есть производная магнитного потока по времени
$\frac{d \Phi}{dt} = 2 \alpha t BS = \alpha t B a^{2}$. (2)
Выражая заряд $q$ из первого уравнения системы (1) и подставляя его во второе, получим уравнение относительно неизвестного заряда $\Delta q$. Его решение дает
$\Delta q = \frac{22 \alpha t BC a^{2}}{21}$. (3)
