Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 696
2014-06-01 
По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно $d$, может скользить без трения перемычка, масса которой равна $m$. Рельсы соединены резистором сопротивлением $R$ и помещены в вертикальное однородное магнитное поле, индукция которого равна В. Перемычке сообщают скорость $v_{0}$ (рис.).
Найдите путь $s$, пройденный перемычкой до остановки. Как зависит ответ от направления индукции В?
Решение:
При движении перемычки меняется поток магнитной индукции через контур, образуемый перемычкой, рельсами и резистором. В контуре возникает э. д. с. индукции и появляется ток. В результате действия магнитного поля на ток, текущий по перемычке, перемычка будет тормозиться.
Найдем тормозящую силу $F$. Пусть скорость движения перемычки в некоторый момент времени равна $v$. За малый промежуток времени $\Delta t$ перемычка переместится вдоль рельсов на малое расстояние $\Delta x = v \Delta t$. Изменение площади контура будет равно $vd \Delta t$, поток магнитной индукции за это время изменится на $\Delta \Phi = Bvd \Delta t$, в контуре появится э. д. с, равная
$\mathcal{E}= - \Delta \Phi/ \Delta t = - B vd$,
и по перемычке, согласно закону Ома. будет течь ток $I = \mathcal{E}/R$. Сила, действующая на перемычку со стороны магнитного поля, будет равна
$F = IBd= - B^{2}d^{2}v/R$.
Направлена сила $F$, согласно правилу Ленца, против скорости движения перемычки $v$.
Напишем теперь уравнение движения перемычки (на малом перемещении $\Delta x$):
$ma = F = -B^{2}d^{2}v/R$,
или, учитывая, что $a = \Delta v/ \Delta t, v = \Delta x/ \Delta t$,
$m \Delta v = - B^{2}d^{2} \Delta x/R$
Мы видим, что изменение скорости движения перемычки пропорционально изменению ее координаты $x$ (в начальный момент $x_{0} = 0$). Значит, полное изменение скорости $v_{к} = v_{0} = 0 – v_{0} = - v_{0}$ связано с изменением координаты (с полным перемещением $s$) соотношением
$m(-v_{0})= -B^{2}d^{2}s/R$.
Отсюда находим путь $s$, пройденный перемычкой до полной остановки:
$s = mRv_{0}/B^{2}d^{2}$.
В том случае, когда направление индукции $\bar{B}$ составляет угол $\alpha$ с нормалью к плоскости рельсов,
$s= mRv_{0}/(B^{2}d^{2} \cos^{2} \alpha)$.
Действительно, э. д. с. индукции и, следовательно, ток, текущий по перемычке, определяются потоком магнитной индукции через контур, а поток в этом случае определяется проекцией индукции $\bar{B}$ на нормаль к плоскости контура.
По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно $d$, может скользить без трения перемычка, масса которой равна $m$. Рельсы соединены резистором сопротивлением $R$ и помещены в вертикальное однородное магнитное поле, индукция которого равна В. Перемычке сообщают скорость $v_{0}$ (рис.).
Найдите путь $s$, пройденный перемычкой до остановки. Как зависит ответ от направления индукции В?
Решение:
При движении перемычки меняется поток магнитной индукции через контур, образуемый перемычкой, рельсами и резистором. В контуре возникает э. д. с. индукции и появляется ток. В результате действия магнитного поля на ток, текущий по перемычке, перемычка будет тормозиться.
Найдем тормозящую силу $F$. Пусть скорость движения перемычки в некоторый момент времени равна $v$. За малый промежуток времени $\Delta t$ перемычка переместится вдоль рельсов на малое расстояние $\Delta x = v \Delta t$. Изменение площади контура будет равно $vd \Delta t$, поток магнитной индукции за это время изменится на $\Delta \Phi = Bvd \Delta t$, в контуре появится э. д. с, равная
$\mathcal{E}= - \Delta \Phi/ \Delta t = - B vd$,
и по перемычке, согласно закону Ома. будет течь ток $I = \mathcal{E}/R$. Сила, действующая на перемычку со стороны магнитного поля, будет равна
$F = IBd= - B^{2}d^{2}v/R$.
Направлена сила $F$, согласно правилу Ленца, против скорости движения перемычки $v$.
Напишем теперь уравнение движения перемычки (на малом перемещении $\Delta x$):
$ma = F = -B^{2}d^{2}v/R$,
или, учитывая, что $a = \Delta v/ \Delta t, v = \Delta x/ \Delta t$,
$m \Delta v = - B^{2}d^{2} \Delta x/R$
Мы видим, что изменение скорости движения перемычки пропорционально изменению ее координаты $x$ (в начальный момент $x_{0} = 0$). Значит, полное изменение скорости $v_{к} = v_{0} = 0 – v_{0} = - v_{0}$ связано с изменением координаты (с полным перемещением $s$) соотношением
$m(-v_{0})= -B^{2}d^{2}s/R$.
Отсюда находим путь $s$, пройденный перемычкой до полной остановки:
$s = mRv_{0}/B^{2}d^{2}$.
В том случае, когда направление индукции $\bar{B}$ составляет угол $\alpha$ с нормалью к плоскости рельсов,
$s= mRv_{0}/(B^{2}d^{2} \cos^{2} \alpha)$.
Действительно, э. д. с. индукции и, следовательно, ток, текущий по перемычке, определяются потоком магнитной индукции через контур, а поток в этом случае определяется проекцией индукции $\bar{B}$ на нормаль к плоскости контура.
