2014-06-01
В закрытый вагон, стоящий на рельсах, проложенных по горизонтальной поверхности, сел человек, у которого имеются пружинные весы и секундомер. Сидя лицом по направлению движения вагона (вдоль рельсов) и прицепив к пружинным весам грузик массой $m$, человек стал наблюдать за направлением отклонения грузика и показаниями весов, фиксируя те моменты времени, когда показания изменялись.
Вагон пришел в движение и первые $t_{1} = 4 с$ грузик был отклонен к человеку, а весы показывали $l,25mg$; затем время, равное $t_{2} = 3 с$, грузик висел вертикально, а весы показывали $mg$. После этого грузик отклонился влево (поперек вагона) и при этом в течение времени $t_{3} = 25,12 с$ весы опять показывали $1,25mg$. Наконец, еще на протяжении $t_{5} = 4 с$ грузик был отклонен вперед при тех же показаниях весов.
Определите, где относительно своего первоначального положения оказался вагон и с какой скоростью он к этому моменту двигался. Считать, что при изменении направления отклонения и показаний весов человек сразу гасит рукой возникающие колебание.
Решение:
рис.1
Поскольку движение происходит в горизонтальной плоскости, вертикальная составляющая силы, действующей на грузик, равна $mg$, а горизонтальная $F^{2} – (MG)^{2} = mg \sqrt{\alpha^{2} - 1}$, где $\alpha = 1,25$ (рис. 1). Горизонтальное ускорение груза (и вагона) определяется этой горизонтальной силой: $ma = mg \sqrt{\alpha^{2} - 1}$; следовательно, $a = g \sqrt{\alpha^{2} -1 } = (3/4)g = 7,5 м/с^{2}$.
На первом участке движения вагон ускоряется до скорости $ v = at_{1} = (3/4)g = (3/4) gt_{1} = 30 м/с$, проходя путь $s_{1}$ вперед по прямой:
$s_{1} = at^{2}_{1}/2 = (3/8) gt^{2}_{1} = 60 м$.
Далее время, равное $t_{2} = 3 с$, он идет с постоянной скоростью $v$ и проходит путь
$s_{2} = vt_{2} = 90 м$.
Таким образом, через 7 секунд после начала движения вагон оказывается впереди на расстоянии $s_{1} + s_{2} = 150 м$ от исходного положения.
На третьем участке вагон движется по закруглению дороги вправо. Так как скорость вагона, движущегося по рельсам, вес время направлена вдоль вагона, то постоянное (в течение времени $t_{3} = 25,12 с$) поперечное ускорение $a = (3/4)g$ является центростремительным, т.е. вагон движется по окружности с постоянной скоростью $v$: $a = v^{2}/R$, радиус окружности $R = v^{2}/a = 120 м$. Путь вагона вдоль окружности будет равен
$s_{3} = R \phi = vt_{3}$,
откуда угол поворота вагона вокруг центра окружности равен $\phi = vt_{3}/R = 6.28 = 2 \pi рад$. т. е. вагон описывает полную окружность.
На последнем участке вагон тормозится и останавливается, поскольку ускорение вдоль вагона равно первоначальному и действует столько же времени. Поэтому $s_{4} = s_{1} = 60 м$. Вагой остановятся на расстоянии $s = 2s_{1} + s_{2} = 210 м$ впереди по отношению к первоначальному положению (рис. 2).
рис.2