Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 327
2014-05-31 
Колесо, вся масса $M$ которого заключена в ободе радиусом $R$, катят по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v$, прикладывая некоторую силу $F$, направленную горизонтально. К внутренней поверхности обода прикреплен маленький шарик массой $m$. Найдите силу $F(t)$ и силу давления колеса на поверхность $p(t)$. Считать, что в начальный момент времени шарик находится в нижней точке.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром колеса. В этой системе отсчета колесо вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Угловую координату шарика $\alpha$ будем отсчитывать от наинизшей точки: $\alpha(t) = \omega t$. На шарик действуют сила тяжести $m \bar{g}$, направленная вертикально вниз, и сила $\bar{Q(t)}$, направленная так, чтобы сумма сил, действующих на шарик, была всегда
направлена к центру колеса и равна $T=m \omega^{2}R$. Проекции этой силы на горизонтальное и вертикальное направления зависят от времени следующим образом:
$T_{x}=m \omega^{2} R \sin \alpha (t) = Q(t)_{x}$, (1)
$T_{y}=m \omega^{2} R \cos \alpha (t) = Q(t)_{y}-mg$. (2)
Но III закону Ньютона шарик действует на колесо с силой $\bar{N(t)} - \bar{Q(t)}$. Из этого факта и равенств (1), (2) следует, что
$N_{x}=-m \omega^{2} R \sin \alpha(t)$, (3)
$N_{y}=-m \omega^{2} R \cos \alpha(t) - mg$. (4)
Сумма сил, действующих на колесо, должна равняться нулю:
$\bar{N(t)} + \bar{K(t)} +\bar{F(t)} + M \bar{g} = 0$. (5)
(Сила $\bar{P(t)}$ действует со стороны колеса на поверхность, а cила $\bar{K(t)}=- \bar{P(t)}$ - со стороны поверхности на колесо.) Учитывая, что сила $\bar{F(t)}$ всегда направлена горизонтально, а сила $\bar{P(t)}$ вертикально, спроецируем равенство (5) на горизонтальное и вертикальное направления, подставив вместо проекций силы $\bar{N}$ правые части равенств (3) и (4):
$-m \omega^{2} R \sin \alpha (t) + F (t)=0$, (6)
$-m \omega^{2} R \cos \alpha (t) – mg –Mg +K(t) =0$. (7)
Из последних равенств получаем ответ:
$F(t)=m \omega^{2} R \sin \alpha (t)$;
$P(t) = mg +Mg + m \omega ^{2} R \cos \alpha (t)$.
Анализируя ответ, заметим, что приведенное в задаче движение возможно только при выполнении условия
$\omega^{2} R \leq g (1+M/m)$,
в противном случае колесо будет подскакивать.
Колесо, вся масса $M$ которого заключена в ободе радиусом $R$, катят по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v$, прикладывая некоторую силу $F$, направленную горизонтально. К внутренней поверхности обода прикреплен маленький шарик массой $m$. Найдите силу $F(t)$ и силу давления колеса на поверхность $p(t)$. Считать, что в начальный момент времени шарик находится в нижней точке.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром колеса. В этой системе отсчета колесо вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Угловую координату шарика $\alpha$ будем отсчитывать от наинизшей точки: $\alpha(t) = \omega t$. На шарик действуют сила тяжести $m \bar{g}$, направленная вертикально вниз, и сила $\bar{Q(t)}$, направленная так, чтобы сумма сил, действующих на шарик, была всегда
направлена к центру колеса и равна $T=m \omega^{2}R$. Проекции этой силы на горизонтальное и вертикальное направления зависят от времени следующим образом:
$T_{x}=m \omega^{2} R \sin \alpha (t) = Q(t)_{x}$, (1)
$T_{y}=m \omega^{2} R \cos \alpha (t) = Q(t)_{y}-mg$. (2)
Но III закону Ньютона шарик действует на колесо с силой $\bar{N(t)} - \bar{Q(t)}$. Из этого факта и равенств (1), (2) следует, что
$N_{x}=-m \omega^{2} R \sin \alpha(t)$, (3)
$N_{y}=-m \omega^{2} R \cos \alpha(t) - mg$. (4)
Сумма сил, действующих на колесо, должна равняться нулю:
$\bar{N(t)} + \bar{K(t)} +\bar{F(t)} + M \bar{g} = 0$. (5)
(Сила $\bar{P(t)}$ действует со стороны колеса на поверхность, а cила $\bar{K(t)}=- \bar{P(t)}$ - со стороны поверхности на колесо.) Учитывая, что сила $\bar{F(t)}$ всегда направлена горизонтально, а сила $\bar{P(t)}$ вертикально, спроецируем равенство (5) на горизонтальное и вертикальное направления, подставив вместо проекций силы $\bar{N}$ правые части равенств (3) и (4):
$-m \omega^{2} R \sin \alpha (t) + F (t)=0$, (6)
$-m \omega^{2} R \cos \alpha (t) – mg –Mg +K(t) =0$. (7)
Из последних равенств получаем ответ:
$F(t)=m \omega^{2} R \sin \alpha (t)$;
$P(t) = mg +Mg + m \omega ^{2} R \cos \alpha (t)$.
Анализируя ответ, заметим, что приведенное в задаче движение возможно только при выполнении условия
$\omega^{2} R \leq g (1+M/m)$,
в противном случае колесо будет подскакивать.
