Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 308
2014-05-31 
В эксперименте, исследующем зависимость массы частицы от ее скорости, узкий пучок электронов с разными скоростями $v$ пролетает вдоль оси у через область длиной $l$, в которой на него действуют постоянные электрическое и магнитное поля. Вектор напряженности электрического поля направлен против оси x, а вектор индукции магнитного поля - по оси х. Электроны регистрируют с помощью люминесцирующего экрана, нормального к оси пучка и расположенного на расстоянии $L (L \gg l)$ от области действия полей. Определите форму кривой, которую увидит экспериментатор на экране.
Решение:
Обозначим массу электрона $m$, величину его заряда $e$ и скорость, с которой он движется вдоль оси у до входа в область существования полей, $v_{y}$. Так как силы, действующие на электрон со стороны обоих полей, направлены перпендикулярно к
первоначальному направлению движения, то изменить величину составляющей скорости на ось y они не могут. Область существования полей электрон проходит за время
$\Delta t_{1} = l/v_{y}$,
а оставшееся расстояние $L$ до экрана - за время
$\Delta t_{2}=L/v_{y}$.
За время $\Delta t_{1}$ сила $F_{x}=e E$, действующая на электрон со стороны электрического поля, сообщает ему в направлении оси x импульс
$p_{x}=F_{x} \Delta t_{1} = e E \frac{l}{v_{y}}$. (1)
Сила $F_{z}=e v_{y} B$, действующая на электрон со стороны магнитного поля с индукцией $B$, сообщает ему за время $\Delta t_{1}$, импульс в направлении z
$p_{z} = F_{z} \Delta t_{1} = elB$. (2)
Если предположить, что импульс и скорость частицы связаны обычным соотношением
$\bar{p}=m \bar{v}$, (3)
то легко увидеть, что электрон попадает на экран в точку с координатой
$x = \frac{p_{x}}{m} \Delta t_{2} = \frac{e E l L}{m v_{y}^{2}}$. (4)
Принимая во внимание равенства (2) и (3), для координаты z точки в которую попадает на экране электрон, находим
$z = \frac{p_{z}}{m} \Delta t_{2} = \frac{e B l L}{m v_{y}}$. (5)
Формулы (4) и (5) показывают, что чем меньше скорость электрона $v_{y}$, тем дальше он попадает на экран от начала координат и наоборот, чем больше эта скорость, тем точка попадания ближе к началу. Исключая из равенств (4) и (5) величину $v_{y}$, получаем уравнение кривой, на которой расположены точки попадания частиц на экран:
$x= z^{2} \frac{mE}{e B^{2}l L}$. (6)
Проведем анализ полученной кривой в области, соответствующей большой скорости частицы (из формул (4) и (5) следует, что эта область на экране находится вблизи начала координат). Равенство (6) показывает, что касательная к кривой в точке с $z = 0$ направлена по оси z. Однако результаты опытов противоречат такому выводу. В начале координат касательная к экспериментальной кривой составляет некоторый отличный от нуля угол с осью z.
Чтобы получить с помощью формулы (6) не противоречащий опыту результат, необходимо предположить, что при стремлении скорости электрона $v_{y}$ к бесконечности его импульс растет быстрее скорости. В релятивистской физике справедливость этого предположения полностью подтверждается.
Импульс частицы в теории относительности зависит от ее скорости следующим образом:
$\bar{p} = \frac{m \bar{v}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$, (7)
где $c$ - скорость света в вакууме. При скоростях, много меньших скорости света, импульс, вычисленный по классической формуле (3), практически совпадает со значением, получаемым из равенства (7). При скоростях частицы, близких к скорости света, нельзя пользоваться приближенной формулой (3).
Используя точное выражение (7) для компонент импульса $p_{x}$ и $p_{z}$, учтем, что скорости частицы вдоль осей x и z много меньше скорости $v_{y}$. Тогда
$p_{x}=\frac{mv_{x}}{\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}$, (8)
$p_{z}=\frac{mv_{z}}{\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}$, (9)
Легко видеть, что вместо выражений (4) и (5) теперь имеем
$x=\frac{p_{x} \sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{m} \Delta t_{2}= \frac{eElL\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{mv^{2}_{y}}$, (10)
$z=\frac{p_{z} \sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{m} \Delta t_{2}= \frac{eElL\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{mv_{y}}$. (11)
Координаты точки на экране, вычисленные по формулам (10) и (11), стремятся к нулю при стремлении скорости $v_{y}$ к скорости света. Тангенс угла $\alpha$ между касательной к кривой в начале координат и осью z определяется просто отношением координат x и z при стремлении $v_{y}$ к $c$:
$tg \: \alpha = \lim_{v_{y} \to c} \frac{x}{z}=\frac{E}{B} \frac{1}{c}$.
Вместо формулы (6) для уравнения кривой на экране получаем выражение
$x= z^{2} \frac{mE}{eB^{2}lL} \sqrt{1+\left ( \frac{eBlL}{mcz} \right )^{2}}$. (12)
Видим, что выражение (12) отличается от выражения (6) вторым слагаемым под знаком корня, которым нельзя пренебречь в области кривой, удовлетворяющей условию
$z < \frac{mc}{eBlL}$. (13)
Используя табличные значения констант и разумные параметры экспериментальной установки ($L \approx 1 м, l \approx 1 см, B \approx 0,1 Тл$), можно увидеть, что граница применимости классической механики, определяемая неравенством (13), соответствует $z \leq 1 см$. Скорость, необходимая для попадания в эту область, составляет (см. формулу (11)) всего $10^{7} м/с$. Такую скорость электрон может набрать, пройдя разность потенциалов в 250 В.
В эксперименте, исследующем зависимость массы частицы от ее скорости, узкий пучок электронов с разными скоростями $v$ пролетает вдоль оси у через область длиной $l$, в которой на него действуют постоянные электрическое и магнитное поля. Вектор напряженности электрического поля направлен против оси x, а вектор индукции магнитного поля - по оси х. Электроны регистрируют с помощью люминесцирующего экрана, нормального к оси пучка и расположенного на расстоянии $L (L \gg l)$ от области действия полей. Определите форму кривой, которую увидит экспериментатор на экране.
Решение:
Обозначим массу электрона $m$, величину его заряда $e$ и скорость, с которой он движется вдоль оси у до входа в область существования полей, $v_{y}$. Так как силы, действующие на электрон со стороны обоих полей, направлены перпендикулярно к
первоначальному направлению движения, то изменить величину составляющей скорости на ось y они не могут. Область существования полей электрон проходит за время
$\Delta t_{1} = l/v_{y}$,
а оставшееся расстояние $L$ до экрана - за время
$\Delta t_{2}=L/v_{y}$.
За время $\Delta t_{1}$ сила $F_{x}=e E$, действующая на электрон со стороны электрического поля, сообщает ему в направлении оси x импульс
$p_{x}=F_{x} \Delta t_{1} = e E \frac{l}{v_{y}}$. (1)
Сила $F_{z}=e v_{y} B$, действующая на электрон со стороны магнитного поля с индукцией $B$, сообщает ему за время $\Delta t_{1}$, импульс в направлении z
$p_{z} = F_{z} \Delta t_{1} = elB$. (2)
Если предположить, что импульс и скорость частицы связаны обычным соотношением
$\bar{p}=m \bar{v}$, (3)
то легко увидеть, что электрон попадает на экран в точку с координатой
$x = \frac{p_{x}}{m} \Delta t_{2} = \frac{e E l L}{m v_{y}^{2}}$. (4)
Принимая во внимание равенства (2) и (3), для координаты z точки в которую попадает на экране электрон, находим
$z = \frac{p_{z}}{m} \Delta t_{2} = \frac{e B l L}{m v_{y}}$. (5)
Формулы (4) и (5) показывают, что чем меньше скорость электрона $v_{y}$, тем дальше он попадает на экран от начала координат и наоборот, чем больше эта скорость, тем точка попадания ближе к началу. Исключая из равенств (4) и (5) величину $v_{y}$, получаем уравнение кривой, на которой расположены точки попадания частиц на экран:
$x= z^{2} \frac{mE}{e B^{2}l L}$. (6)
Проведем анализ полученной кривой в области, соответствующей большой скорости частицы (из формул (4) и (5) следует, что эта область на экране находится вблизи начала координат). Равенство (6) показывает, что касательная к кривой в точке с $z = 0$ направлена по оси z. Однако результаты опытов противоречат такому выводу. В начале координат касательная к экспериментальной кривой составляет некоторый отличный от нуля угол с осью z.
Чтобы получить с помощью формулы (6) не противоречащий опыту результат, необходимо предположить, что при стремлении скорости электрона $v_{y}$ к бесконечности его импульс растет быстрее скорости. В релятивистской физике справедливость этого предположения полностью подтверждается.
Импульс частицы в теории относительности зависит от ее скорости следующим образом:
$\bar{p} = \frac{m \bar{v}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$, (7)
где $c$ - скорость света в вакууме. При скоростях, много меньших скорости света, импульс, вычисленный по классической формуле (3), практически совпадает со значением, получаемым из равенства (7). При скоростях частицы, близких к скорости света, нельзя пользоваться приближенной формулой (3).
Используя точное выражение (7) для компонент импульса $p_{x}$ и $p_{z}$, учтем, что скорости частицы вдоль осей x и z много меньше скорости $v_{y}$. Тогда
$p_{x}=\frac{mv_{x}}{\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}$, (8)
$p_{z}=\frac{mv_{z}}{\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}$, (9)
Легко видеть, что вместо выражений (4) и (5) теперь имеем
$x=\frac{p_{x} \sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{m} \Delta t_{2}= \frac{eElL\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{mv^{2}_{y}}$, (10)
$z=\frac{p_{z} \sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{m} \Delta t_{2}= \frac{eElL\sqrt{1-v^{2}_{y}/c^{2}}}{mv_{y}}$. (11)
Координаты точки на экране, вычисленные по формулам (10) и (11), стремятся к нулю при стремлении скорости $v_{y}$ к скорости света. Тангенс угла $\alpha$ между касательной к кривой в начале координат и осью z определяется просто отношением координат x и z при стремлении $v_{y}$ к $c$:
$tg \: \alpha = \lim_{v_{y} \to c} \frac{x}{z}=\frac{E}{B} \frac{1}{c}$.
Вместо формулы (6) для уравнения кривой на экране получаем выражение
$x= z^{2} \frac{mE}{eB^{2}lL} \sqrt{1+\left ( \frac{eBlL}{mcz} \right )^{2}}$. (12)
Видим, что выражение (12) отличается от выражения (6) вторым слагаемым под знаком корня, которым нельзя пренебречь в области кривой, удовлетворяющей условию
$z < \frac{mc}{eBlL}$. (13)
Используя табличные значения констант и разумные параметры экспериментальной установки ($L \approx 1 м, l \approx 1 см, B \approx 0,1 Тл$), можно увидеть, что граница применимости классической механики, определяемая неравенством (13), соответствует $z \leq 1 см$. Скорость, необходимая для попадания в эту область, составляет (см. формулу (11)) всего $10^{7} м/с$. Такую скорость электрон может набрать, пройдя разность потенциалов в 250 В.
