2014-05-31
Имеются последовательно включенные постоянное сопротивление $R = 100 Ом$, резистор с переменным сопротивлением $0 \div 300 Ом$ и идеальный источник напряжения. При сопротивлении резистора $r_{0}= 50 Ом$ на нем выделяется за одну секунду количество теплоты $N = 50 Дж$. Существует ли способ получения той же мощности при меньшем потреблении энергии от источника? Если существует, опишите его, если нет, докажите это.
Решение:
Ток в цепи $I= \mathcal{E} / (R+r_{0})$, а мощность выделения тепла на резисторе
$N= \mathcal{E^{2}} r_{0} /(R+r_{0})^{2}$. (1)
Первая бросающаяся в глаза возможность - подключить резистор прямо к источнику - к сожалению, не подходит. Действительно, при сопротивлении резистора $r_{x}$ ток в цепи $I = \mathcal{E}/r_{x}$, а мощность на резисторе
$N= \mathcal{E^{2}}/r_{x}$. (2)
Сравнивая выражения (1) и (2), получаем значение сопротивления резистора $ r_{x} = (r_{0}+R)^{2}/r_{0} = 450 Ом$, а это больше максимального сопротивления резистора.
Но есть еще одно значение сопротивления резистора $r$, которое требуемое значение $N$ при его последовательном соединении сопротивлением $R$. Действительно, сравнивая выражение (1) с $n = \mathcal{E^{2}}r/(R+r)^{2}$, получаем для $r$ квадратное уравнение
$r^{2}r_{0} – r(R^{2}+r^{2}_{0})+r_{0}R^{2}=0$.
Один корень этого уравнения $r=r_{0}$, а второй корень $r = R^{2}/r_{0}=200 Ом$. При таком значении сопротивления резистора на нем выделается в единицу времени такое же количество теплоты. Полное сопротивление цепи $R+r$ увеличивается в два раза, а следовательно в два раза уменьшается энергия, потребляемая от источника.