2014-05-31
Один моль идеального газа находится в сосуде между двумя поршнями, соединенными пружиной. Поршни могут перемещаться без трения вдоль оси сосуда, за поршнями вакуум. Длина пружины в нерастянутом состоянии $l$, ее жесткость $k$, площадь поршня $S$, температура газа $T$. Определите удлинение пружины и давление газа в положении равновесия.
Решение:
Обозначим искомое удлинение пружины $\Delta l$ и давление газа в состоянии равновесия $p$. В состоянии равновесия результирующая сила, действующая на каждый поршень, равна нулю
$pS-k \Delta l =0$,
откуда
$p=k \Delta l /S$. (1)
Воспользуемся уравнением состояния для одного моля идеального газа
$p=RT/V$, (2)
где $V$ - объем газа, $R$ - газовая постоянная. Приравнивая правые части (1) и (2) с учетом того, что в состоянии равновесия газ принимает объем $V = S(l + \Delta l)$, получаем квадратное уравнение для нахождения $\Delta l$:
$k \Delta l (l+ \Delta l)=RT$. (3)
Учитывая, что $\Delta l > 0$, из уравнения (3) найдем удлинение пружины $\Delta l$:
$\Delta l = \frac{1}{2} \left ( -l+ \sqrt{l^{2}+\frac{4RT}{k}} \right )$
Подставив этот результат в равенство (1), находим
$p=\frac{k}{2S}\left ( -l+ \sqrt{l^{2}+\frac{4RT}{k}} \right )$