ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-09   
К маятнику $AB$ с шариком массой $M$ подвешен маятник $BC$ с шариком массой $m$ (рис.). Точка $A$ совершает колебания в горизонтальном направлении с периодом $T$. Найдите длину нити $BC$, если известно, что нить $AB$ все время остается в вертикальном положении.



Решение:



Пусть груз массой $M$ совершает колебания по закону $x_{1} = A \cos \omega t$, где $\omega = \frac{2 \pi}{T}$. Уравнение движения этого груза имеет вид (рис.)

$F_{н} \sin \alpha = Ma_{1}$,

где $a_{1} = - \omega^{2} A \cos \omega t$. При $a \ll 1 \: F_{н} = mg$ и $\sin \alpha = \alpha$, т.е.

$mg \alpha = Ma_{1}$.

Ускорение груза массой $m$, подвешенного на нити длиной $l$, равно

$a_{2} = a_{1} + l \alpha^{ \prime \prime} = a_{1} - \frac{Ml}{mg} \omega^{2} a_{1}$.

На этот груз действует в горизонтальном направлении сила $-F_{н} \sin \alpha = - M a_{1}$, и уравнение движения этого груза имеет вид

$- Ma_{1} = m \left ( a_{1} - \frac{Ml}{mg} \omega^{2} a_{1} \right )$,

откуда

$l = \frac{M + m}{M} \frac{g}{ \omega^{2}} = \frac{M +m}{M} \frac{gT^{2}}{4 \pi^{2}}$.