Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16256
2023-11-27 
Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_{0}$. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_{x} = \alpha y$, где $\alpha$ - постоянная, $y$ - высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема:
а) величины сноса шара $x(y)$;
б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
Решение:
Найдем уравнения движения шара. Так как по оси $y$ шар движется равномерно со скоростью $v_{0}$, то координата шара у зависит от времени подъема $t$ по закону $y = v_{0}t$. Зависимость координаты шара $x$ от времени $t$ можно определить из дифференциального уравнения
$v_{x} = \frac{dx}{st} = \alpha y = \alpha v_{0}t$,
решение которого, с учетом начального условия $x = 0$ при $t = 0$, имеет вид
$x = \frac{ \alpha v_{0}t^{2}}{2}$.
Учитывая, что $t = \frac{y}{v_{0}}$, определим искомую величину сноса шара $x$ в зависимости от высоты подъема $y$:
$x = \frac{ \alpha y^{2}}{2 v_{0}}$.
Компонента ускорения $a_{y} =0$, так как по оси $y$ шар движется равномерно. Компоненту ускорения $a_{x}$ найдем дважды дифференцируя координату $x$ по времени $t$. В результате получим $a_{x} = \alpha v_{0}$ и, следовательно, полное ускорение шара равно $a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = \alpha v_{0}$.
Тангенциальное ускорение шара равно
$a_{ \tau} = \frac{dv}{dt}$,
где $v$ - полная скорость шара определяется выражением
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{ ( \alpha v_{0}t)^{2} + v_{0}^{2}}$,
дифференцируя которое по времени, получаем
$a_{ \tau} = \frac{dv}{dt} = \frac{ \alpha^{2} v_{0}^{2}t}{ \sqrt{ ( \alpha v_{0}t )^{2} + v_{0}^{2} }}$.
Избавляясь от времени с помощью соотношения $t = \frac{y}{v_{0}}$, получаем зависимость тангенциального ускорения шара от высоты его подъема
$a_{ \tau} = \frac{ \alpha^{2}y}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2}}}$.
Нормальное ускорение шара $a_{n}$ найдем, учитывая взаимную перпендикулярность векторов $\vec{a}_{ \tau}$ и $\vec{a}_{n}$, по теореме Пифагора:
$a_{n} = \sqrt{a^{2} - a_{ \tau}^{2}} = \frac{ \alpha v_{0}}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2} }}$.
Ответ: а) $x = \frac{ \alpha y^{2}}{2v_{0}}$; б) $a = \alpha v_{0}, a_{ \tau} = \frac{ \alpha^{2}y}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2}}}, a_{n} = \frac{ \alpha v_{0}}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2} }}$.
Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_{0}$. Благодаря ветру, шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_{x} = \alpha y$, где $\alpha$ - постоянная, $y$ - высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема:
а) величины сноса шара $x(y)$;
б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
Решение:
Найдем уравнения движения шара. Так как по оси $y$ шар движется равномерно со скоростью $v_{0}$, то координата шара у зависит от времени подъема $t$ по закону $y = v_{0}t$. Зависимость координаты шара $x$ от времени $t$ можно определить из дифференциального уравнения
$v_{x} = \frac{dx}{st} = \alpha y = \alpha v_{0}t$,
решение которого, с учетом начального условия $x = 0$ при $t = 0$, имеет вид
$x = \frac{ \alpha v_{0}t^{2}}{2}$.
Учитывая, что $t = \frac{y}{v_{0}}$, определим искомую величину сноса шара $x$ в зависимости от высоты подъема $y$:
$x = \frac{ \alpha y^{2}}{2 v_{0}}$.
Компонента ускорения $a_{y} =0$, так как по оси $y$ шар движется равномерно. Компоненту ускорения $a_{x}$ найдем дважды дифференцируя координату $x$ по времени $t$. В результате получим $a_{x} = \alpha v_{0}$ и, следовательно, полное ускорение шара равно $a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} = \alpha v_{0}$.
Тангенциальное ускорение шара равно
$a_{ \tau} = \frac{dv}{dt}$,
где $v$ - полная скорость шара определяется выражением
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{ ( \alpha v_{0}t)^{2} + v_{0}^{2}}$,
дифференцируя которое по времени, получаем
$a_{ \tau} = \frac{dv}{dt} = \frac{ \alpha^{2} v_{0}^{2}t}{ \sqrt{ ( \alpha v_{0}t )^{2} + v_{0}^{2} }}$.
Избавляясь от времени с помощью соотношения $t = \frac{y}{v_{0}}$, получаем зависимость тангенциального ускорения шара от высоты его подъема
$a_{ \tau} = \frac{ \alpha^{2}y}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2}}}$.
Нормальное ускорение шара $a_{n}$ найдем, учитывая взаимную перпендикулярность векторов $\vec{a}_{ \tau}$ и $\vec{a}_{n}$, по теореме Пифагора:
$a_{n} = \sqrt{a^{2} - a_{ \tau}^{2}} = \frac{ \alpha v_{0}}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2} }}$.
Ответ: а) $x = \frac{ \alpha y^{2}}{2v_{0}}$; б) $a = \alpha v_{0}, a_{ \tau} = \frac{ \alpha^{2}y}{ \sqrt{1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2}}}, a_{n} = \frac{ \alpha v_{0}}{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \alpha y}{v_{0}} \right )^{2} }}$.
