Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16220
2023-09-02 
Проводящее кольцо радиуса $r$ с сопротивлением $R$, массой $M$ падает вертикально в неоднородном магнитном поле, конфигурация которого показана на рисунке. Вертикальная составляющая магнитного поля меняется с высотой со скоростью $K$ Тл/м. Какова установившаяся скорость кольца?
Решение:
В процессе падения кольца через его плоскость меняется поток вектора магнитной индукции, вследствие чего по его периметру возникает ЭДС индукции и электрический ток. Направление тока таково, что сила Ампера, действующая на кольцо, направлена против скорости движения (правило Ленца). За существование силы Ампера ответственна горизонтальная составляющая индукции магнитного поля. Вычислим силу Ампера:
$|F| = IB_{g} 2 \pi r = 2 \pi r B_{g} \frac{ \epsilon}{R} = \frac{2 \pi^{2}r^{3}B_{g}}{R} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta t} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g}}{R} \frac{ \Delta B_{g}}{ \Delta x} \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g} \nu}{R} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta x} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g} \nu K}{R}$ (1)
Используя свойство магнитного поля можно определить связь между горизонтальной и вертикальной составляющими магнитного поля. Пусть кольцо сместилось вниз на малое расстояние $\Delta x$ (см. рисунок). Полный магнитный поток через замкнутую поверхность заметенного кольцом цилиндра равен нулю (сколько магнитных линий входит внутрь, столько же и выходит). Поэтому можно записать: $B_{ \nu} (x) \pi r^{2} - B_{ \nu} (x + \Delta x) \pi r^{2} = B_{g} 2 \pi r \Delta x$, отсюда:
$| B_{g} | = \frac{r}{2} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta x} = \frac{1}{2} rK$. (2)
Тогда для (1) с учетом (2) получим:
$|F| = \frac{ \pi^{2} r^{4} \nu K^{2}}{R} = Mg$. (3)
Тогда для скорости получим:
$\nu = \frac{MgR}{ \pi^{2} r^{4} K^{2}}$. (4)
Проводящее кольцо радиуса $r$ с сопротивлением $R$, массой $M$ падает вертикально в неоднородном магнитном поле, конфигурация которого показана на рисунке. Вертикальная составляющая магнитного поля меняется с высотой со скоростью $K$ Тл/м. Какова установившаяся скорость кольца?
Решение:
В процессе падения кольца через его плоскость меняется поток вектора магнитной индукции, вследствие чего по его периметру возникает ЭДС индукции и электрический ток. Направление тока таково, что сила Ампера, действующая на кольцо, направлена против скорости движения (правило Ленца). За существование силы Ампера ответственна горизонтальная составляющая индукции магнитного поля. Вычислим силу Ампера:
$|F| = IB_{g} 2 \pi r = 2 \pi r B_{g} \frac{ \epsilon}{R} = \frac{2 \pi^{2}r^{3}B_{g}}{R} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta t} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g}}{R} \frac{ \Delta B_{g}}{ \Delta x} \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g} \nu}{R} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta x} = \frac{2 \pi^{2} r^{3} B_{g} \nu K}{R}$ (1)
Используя свойство магнитного поля можно определить связь между горизонтальной и вертикальной составляющими магнитного поля. Пусть кольцо сместилось вниз на малое расстояние $\Delta x$ (см. рисунок). Полный магнитный поток через замкнутую поверхность заметенного кольцом цилиндра равен нулю (сколько магнитных линий входит внутрь, столько же и выходит). Поэтому можно записать: $B_{ \nu} (x) \pi r^{2} - B_{ \nu} (x + \Delta x) \pi r^{2} = B_{g} 2 \pi r \Delta x$, отсюда:
$| B_{g} | = \frac{r}{2} \frac{ \Delta B_{ \nu}}{ \Delta x} = \frac{1}{2} rK$. (2)
Тогда для (1) с учетом (2) получим:
$|F| = \frac{ \pi^{2} r^{4} \nu K^{2}}{R} = Mg$. (3)
Тогда для скорости получим:
$\nu = \frac{MgR}{ \pi^{2} r^{4} K^{2}}$. (4)
