ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-09-02   
Два моля газа газ совершают процесс, представленный на рис. Найдите максимальную температуру, если $P_{0} = 10^{5} Па, P_{0} = 8, 31 л$.



Решение:



Решим задачу в общем виде.

Запишем уравнение зависимости давления от температуры:

$P = \alpha V + b$, (1)

Где $\alpha = - \frac{(k - 1)P_{0}}{(m -1)V_{0}}$ (2)

Подставим в уравнение (1) значения для двух крайних точек и найдем $b$:

$kP_{0} = \alpha V_{0} + b$
$P_{0} = \alpha mV_{0} + b$
$b = \frac{km - 1}{m - 1}P_{0}$ (3)

Подставим уравнение (1) в уравнение Менделеева-Клапейрона и выразим температуру:

$T = \frac{1}{ \nu R} ( \alpha V^{2} + bV)$ (4)

Уравнение (4) является квадратным. Максимальная или минимальная температура находится в вершине этой параболы.

Объём, при котором наблюдается экстремальная температура:

$V_{в} = - \frac{b}{2 \alpha}$ (5)

Подставим (5) в (4) и найдем экстремальную температуру:

$T_{э} = - \frac{b^{2}}{2 \nu R \alpha} = \frac{(km - 1)^{2}P_{0}V_{0}}{2(m - 1)(k - 1) \nu R}$ (6)

В нашем случае $k=4, m=3$

$T_{э} = \frac{11^{2} P_{0}V_{0}}{2 \cdot 2 (3) \nu R} = 10,08 \frac{P_{0}V_{0}}{ \nu R}$

Проверим, что это действительно максимальная температура

Температура в первой точке:

$T_{1} = \frac{4P_{0}V_{0}}{ \nu R}$

Температура в первой точке:

$T_{1} = \frac{3P_{0}V_{0}}{ \nu R}$

Таким образом , найденная нами температура является максимальной

$T_{max} = T_{э} = 10,08 \frac{P_{0}V_{0}}{ \nu R} = 504 K$