Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16070
2023-07-19 
В эксперименте по подсчету распадов радиоактивного образца регистрируют в среднем 10 распадов в 100-секундном интервале. Используйте распределение Пуассона, чтобы оценить вероятность обнаружения
а) 8 распадов в 100-секундном интервале, и
б) 2 распада в 10-секундном интервале.
При проведении эксперимента в течение одного дня было обнаружено 8000 распада. Объясните, почему это маловероятный результат, если приведенное выше среднее верно и применима статистика Пуассона.
Решение:
Распределение Пуассона можно записать как
$p(n) = \frac{ \mu^{n} e^{- \mu}}{n!}$,
где $p(n)$ - вероятность наблюдения $n$ событий, когда ожидаемое значение $n$ равно $\mu$.
a) Мы знаем, что для 100-секундного интервала $\mu = 10$, поэтому
$p(8) = \frac{10^{8} e^{-10}}{8!}$,
значение которого оценивается как 0,113.
b) Для 10-секундного интервала мы ожидаем, что $ \mu = 1$, поэтому
$p(2) = \frac{1^{2} e^{-1}}{2!}$
значение которого оценивается как 0,184.
В одном дне содержится 86400 секунд, $\mu = 8640$, поэтому наблюдаемое число 8000 распадов меньше, чем ожидалось. Чтобы оценить, является ли такое отклонение неожиданным, напомним, что при больших значениях $\mu$ распределение Пуассона очень близко к гауссовскому (нормальному) распределению со средним значением $\mu$ и стандартным отклонением $\sqrt{ \mu}$. Таким образом, наблюдаемое отклонение от ожидаемого значения составляет $\frac{640}{ \sqrt{8640}} = 6,9$ и мы знаем, что вероятность наблюдения такого большого отклонения крайне мала.
(Одним из возможных объяснений может быть то, что образец значительно испортился в течение дня. Оценим постоянную затухания, которая была бы необходима в этом случае:
Скорость распада $\frac{dN}{dt}$ будет меняться со временем как
$\frac{dN}{dt} = N_{0}^{ \prime}e^{ - \lambda t}$,
где $N_{0}^{ \prime}$ - скорость распада в нулевой момент времени, а $\lambda$ - постоянная затухания. Общее количество распадов, обнаруженных между нулем времени и временем $T$, находится путем интегрирования $dN$:
$N = N_{0}^{ \prime} \int_{0}^{T} e^{ - \lambda t}dt = \frac{N_{0}^{ \prime}}{ \lambda } (1 - e^{ - \lambda T} )$.
Если положить $x = \lambda T$, где $T = 1 день = 86400 с$, а $N_{0}^{ \prime} = 0,1 с^{-1}$, получим выражение
$1 - e^{-x} = 0,92593x$.
Чтобы получить приближенное решение этого уравнения, мы можем разложить $e^{-x}$ в степенной ряд по $x$,
$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} - \cdots = 0,92593x$,
следовательно
$0,07407x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} \cdots = 0$.
Не учитываем, что $x = 0$, получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{2} + 0,07407 = 0$,
которое можно решить, $x= 0,1563$. (Другое решение, $x \approx 2,84$, можно отбросить подстановкой в уравнение $1 - e^{-x} = 0,92593x$.) Таким образом, мы оцениваем постоянную распада $\lambda$ как $\frac{0,1563}{86400} = 1,81 \cdot 10^{-6} с^{-1}$, что соответствует периоду полураспада $\frac{ln 2}{ \lambda} \approx 4,4$ сут.)
В эксперименте по подсчету распадов радиоактивного образца регистрируют в среднем 10 распадов в 100-секундном интервале. Используйте распределение Пуассона, чтобы оценить вероятность обнаружения
а) 8 распадов в 100-секундном интервале, и
б) 2 распада в 10-секундном интервале.
При проведении эксперимента в течение одного дня было обнаружено 8000 распада. Объясните, почему это маловероятный результат, если приведенное выше среднее верно и применима статистика Пуассона.
Решение:
Распределение Пуассона можно записать как
$p(n) = \frac{ \mu^{n} e^{- \mu}}{n!}$,
где $p(n)$ - вероятность наблюдения $n$ событий, когда ожидаемое значение $n$ равно $\mu$.
a) Мы знаем, что для 100-секундного интервала $\mu = 10$, поэтому
$p(8) = \frac{10^{8} e^{-10}}{8!}$,
значение которого оценивается как 0,113.
b) Для 10-секундного интервала мы ожидаем, что $ \mu = 1$, поэтому
$p(2) = \frac{1^{2} e^{-1}}{2!}$
значение которого оценивается как 0,184.
В одном дне содержится 86400 секунд, $\mu = 8640$, поэтому наблюдаемое число 8000 распадов меньше, чем ожидалось. Чтобы оценить, является ли такое отклонение неожиданным, напомним, что при больших значениях $\mu$ распределение Пуассона очень близко к гауссовскому (нормальному) распределению со средним значением $\mu$ и стандартным отклонением $\sqrt{ \mu}$. Таким образом, наблюдаемое отклонение от ожидаемого значения составляет $\frac{640}{ \sqrt{8640}} = 6,9$ и мы знаем, что вероятность наблюдения такого большого отклонения крайне мала.
(Одним из возможных объяснений может быть то, что образец значительно испортился в течение дня. Оценим постоянную затухания, которая была бы необходима в этом случае:
Скорость распада $\frac{dN}{dt}$ будет меняться со временем как
$\frac{dN}{dt} = N_{0}^{ \prime}e^{ - \lambda t}$,
где $N_{0}^{ \prime}$ - скорость распада в нулевой момент времени, а $\lambda$ - постоянная затухания. Общее количество распадов, обнаруженных между нулем времени и временем $T$, находится путем интегрирования $dN$:
$N = N_{0}^{ \prime} \int_{0}^{T} e^{ - \lambda t}dt = \frac{N_{0}^{ \prime}}{ \lambda } (1 - e^{ - \lambda T} )$.
Если положить $x = \lambda T$, где $T = 1 день = 86400 с$, а $N_{0}^{ \prime} = 0,1 с^{-1}$, получим выражение
$1 - e^{-x} = 0,92593x$.
Чтобы получить приближенное решение этого уравнения, мы можем разложить $e^{-x}$ в степенной ряд по $x$,
$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} - \cdots = 0,92593x$,
следовательно
$0,07407x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} \cdots = 0$.
Не учитываем, что $x = 0$, получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{2} + 0,07407 = 0$,
которое можно решить, $x= 0,1563$. (Другое решение, $x \approx 2,84$, можно отбросить подстановкой в уравнение $1 - e^{-x} = 0,92593x$.) Таким образом, мы оцениваем постоянную распада $\lambda$ как $\frac{0,1563}{86400} = 1,81 \cdot 10^{-6} с^{-1}$, что соответствует периоду полураспада $\frac{ln 2}{ \lambda} \approx 4,4$ сут.)
