ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-06-15   
Вычислить отношение заселенностей вращательного уровня $J = 1$ и основного вращательного состояния для молекулы водорода при температуре $T = 300 К$. Расстояние между ядрами в
молекуле $H_{2}$ равно $d = 0,741 \cdot 10^{-10} м$.


Решение:


В соответствии с распределением Больцмана населенность вращательного уровня:

$N = Cg e^{ - \frac{E}{kT} }$.

Подставляя в это соотношение:

$E = \frac{ \hbar^{2} J(J + 1)}{2I}, g = 2J + 1$,

получим:

$N = C(2J + 1) e^{ - \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} }$
$N_{1} = C(2J + 1) e^{ - \frac{ \hbar^{2} J_{1}(J_{1} + 1) }{2IkT} }$
$N_{2} = C(2J + 1) e^{ - \frac{ \hbar^{2} J_{2}(J_{2} + 1) }{2IkT} }$

отсюда:

$n = \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{C(2J_{2} + 1)e^{ - \frac{h^{2} J_{2}(J_{2} + 1) }{2IkT} } }{C(2J_{1} + 1) e^{ - \frac{h^{2} J_{1}(J_{1} + 1) }{2IkT} } } = \frac{2J_{2} + 1}{2J_{1} + 1} e^{ \frac{h^{2} J_{1}(J_{1} + 1) }{2IkT} - \frac{h^{2} J_{2}(J_{2} + 1)}{2IkT} } = \frac{2J_{2} + 1}{2J_{1} + 1} e^{ \frac{h^{2} (J_{1}(J_{1} + 1) - J_{2}(J_{2} + 1) ) }{2IkT} }$

Момент инерции молекулы:

$I = \mu d^{2}$, $\mu$ - приведенная масса молекул

$\mu = \frac{1}{2} m_{H}$, $m_{H}$ - масса ядра водорода:

$m_{H} = 1a.e.м. = 1, 66 \cdot 10^{-27} кг$
$\mu =0,83 \cdot 10^{-27} кг$

отсюда находим

$n = \frac{2J_{2} + 1}{2J_{1} + 1} e^{ \frac{h^{2}(J_{1}(J_{1} + 1) - J_{2}(J_{2} + 1)) }{2 \mu d^{2} kT } }$
$n = 3 e^{ - \frac{h^{2} }{ \mu d^{2} kT } } = 3e^{- \frac{ (1,05 \cdot 10^{-34} )^{2} }{ 0,83 \cdot 10^{-27} \cdot (0,741 \cdot 10^{-10})^{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-27} \cdot 300 } } = 1,67$