Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15807
2023-06-15 
В середине колебательно - вращательной полосы спектра испускания молекулы $HCl$, где отсутствует “нулевая линия”, запрещенная правилами отбора, интервал между соседними линиями $\Delta \omega = 0,79 \cdot 10^{13} с^{-1}$. Вычислить расстояние между ядрами молекулы $HCl$.
Решение:
Колебательно-вращательная полоса излучается при переходах между системами вращательных уровней, принадлежащих двум различным колебательным состояниям (см. рис.).
Частота, излучаемая при колебательно - вращательном переходе равна
$\omega = \frac{ E_{v}^{ \prime} - E_{v}^{ \prime \prime }}{ \hbar } + \frac{ E_{r}^{ \prime} - E_{r}^{ \prime \prime}}{ \hbar }$.
Используя выражение $E_{r} = \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2I}$ для вращательной энергии, получим
$\omega = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [J^{ \prime} (J^{ \prime} +1) - J^{ \prime \prime} (J^{ \prime \prime} +1)]$.
По правилам отбора $\Delta J = \pm 1$.
Поскольку $J^{ \prime} \neq J^{ \prime \prime}$, “нулевая” частота $\omega = \omega_{v}$ излучаться не будет (она изображена на рисунке пунктирной линией).
Переходам $\Delta J = 1$ и $\Delta J = -1$ соответствуют две ветви в колебательно - вращательной полосе (они называются $P$ - и $R$ - ветвями).
Для $P$ - ветви $\Delta J = 1$
$\omega_{P} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [J^{ \prime}(J + 1) - ( J^{ \prime} + 1 )(J^{ \prime} + 2)] = \omega_{v} - \frac{ \hbar}{I} (J^{ \prime} + 1)$.
Для $R$ - ветви $\Delta J = - 1$
$\omega_{R} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [ J^{ \prime} (J +1) - (J^{ \prime} -1) J^{ \prime} ] = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{I} J^{ \prime}$.
Линии, ближайшие к “нулевой” линии, имеют частоты:
$\omega_{1} = \omega_{P}$ (при $J^{ \prime} = 0$) $\omega_{1} = \omega_{v} - \frac{ \hbar}{I}$;
$\omega_{2} = \omega_{R}$ (при $J^{ \prime} = 1$) $\omega_{2} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{I}$;
$\Delta \omega = \omega_{2} - \omega_{1} = \frac{2 \hbar }{I}$ откуда $I = \frac{2 \hbar}{ \Delta \omega}$.
Используя $I = \mu d^{2}$, получим $d = \sqrt{ \frac{2 \hbar }{ \Delta \omega \mu}}$
Подсчитаем приведенную массу $\mu = \frac{m_{H}m_{Cl}}{m_{H} + m_{Cl}}$, где $m_{H} = 1,66 \cdot 10^{-27} кг, m_{Cl} = 35 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг, \mu = 1,61 \cdot 10^{-2} кг$.
Тогда $d = 1,25 \cdot 10^{-10} м$.
В середине колебательно - вращательной полосы спектра испускания молекулы $HCl$, где отсутствует “нулевая линия”, запрещенная правилами отбора, интервал между соседними линиями $\Delta \omega = 0,79 \cdot 10^{13} с^{-1}$. Вычислить расстояние между ядрами молекулы $HCl$.
Решение:
Колебательно-вращательная полоса излучается при переходах между системами вращательных уровней, принадлежащих двум различным колебательным состояниям (см. рис.).
Частота, излучаемая при колебательно - вращательном переходе равна
$\omega = \frac{ E_{v}^{ \prime} - E_{v}^{ \prime \prime }}{ \hbar } + \frac{ E_{r}^{ \prime} - E_{r}^{ \prime \prime}}{ \hbar }$.
Используя выражение $E_{r} = \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2I}$ для вращательной энергии, получим
$\omega = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [J^{ \prime} (J^{ \prime} +1) - J^{ \prime \prime} (J^{ \prime \prime} +1)]$.
По правилам отбора $\Delta J = \pm 1$.
Поскольку $J^{ \prime} \neq J^{ \prime \prime}$, “нулевая” частота $\omega = \omega_{v}$ излучаться не будет (она изображена на рисунке пунктирной линией).
Переходам $\Delta J = 1$ и $\Delta J = -1$ соответствуют две ветви в колебательно - вращательной полосе (они называются $P$ - и $R$ - ветвями).
Для $P$ - ветви $\Delta J = 1$
$\omega_{P} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [J^{ \prime}(J + 1) - ( J^{ \prime} + 1 )(J^{ \prime} + 2)] = \omega_{v} - \frac{ \hbar}{I} (J^{ \prime} + 1)$.
Для $R$ - ветви $\Delta J = - 1$
$\omega_{R} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{2I} [ J^{ \prime} (J +1) - (J^{ \prime} -1) J^{ \prime} ] = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{I} J^{ \prime}$.
Линии, ближайшие к “нулевой” линии, имеют частоты:
$\omega_{1} = \omega_{P}$ (при $J^{ \prime} = 0$) $\omega_{1} = \omega_{v} - \frac{ \hbar}{I}$;
$\omega_{2} = \omega_{R}$ (при $J^{ \prime} = 1$) $\omega_{2} = \omega_{v} + \frac{ \hbar}{I}$;
$\Delta \omega = \omega_{2} - \omega_{1} = \frac{2 \hbar }{I}$ откуда $I = \frac{2 \hbar}{ \Delta \omega}$.
Используя $I = \mu d^{2}$, получим $d = \sqrt{ \frac{2 \hbar }{ \Delta \omega \mu}}$
Подсчитаем приведенную массу $\mu = \frac{m_{H}m_{Cl}}{m_{H} + m_{Cl}}$, где $m_{H} = 1,66 \cdot 10^{-27} кг, m_{Cl} = 35 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг, \mu = 1,61 \cdot 10^{-2} кг$.
Тогда $d = 1,25 \cdot 10^{-10} м$.
