Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15806
2023-06-15 
Газ, состоящий из молекул $NO$, находится при температуре $T = 1000 К$. Определить квантовое число вращательного уровня, которому соответствует максимальная населенность. Расстояние между ядрами в молекуле $NO$ равно $d = 1,15 \cdot 10^{-10} м$.
Решение:
В соответствии с распределением Больцмана населенность вращательного уровня равна $N = Cge^{ - \frac{E_{r}}{kT} }$. Подставляя в это соотношение $E_{r} = \frac{ \hbar^{2} J(J + 1)}{2I}, g = 2J + 1$, получим
$N = C(2J + 1) e^{ - \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} }$.
В максимуме функции $N(J)$ $\frac{dN}{dJ} = 0$. Тогда
$(2J + 1) \left ( - \frac{ \hbar^{2} (2J + 1) }{2IkT} \right ) e^{- \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} } +2e^{ - \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} } = 0$,
$\frac{(2J +1)^{2} \hbar^{2}}{2IkT} = 2; 2J + 1 = \sqrt{ \frac{4IkT}{ \hbar^{2} } }$, откуда получаем вращательное квантовое число, которому соответствует максимальная населенность
$J_{max} = \frac{ \sqrt{IkT}}{ \hbar} - \frac{1}{2}$.
Момент инерции $I = \mu d^{2}$, где $\mu = \frac{m_{N}m_{O}}{m_{N} + m_{O}}$ ($\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$). Подставив сюда $m_{N} = 14 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг = 2,32 \cdot 10^{-26} кг, m_{O} = 16 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг = 2,66 \cdot 10^{-26} кг$, получим $\mu = 1,237 \cdot 10^{-26} кг, I = 1,636 \cdot10^{-46} кг \cdot м^{2}$. Окончательно получим $J_{max} = 13,8$, или, округлив до ближайшего целого числа, получим $J_{max} = 14$.
Газ, состоящий из молекул $NO$, находится при температуре $T = 1000 К$. Определить квантовое число вращательного уровня, которому соответствует максимальная населенность. Расстояние между ядрами в молекуле $NO$ равно $d = 1,15 \cdot 10^{-10} м$.
Решение:
В соответствии с распределением Больцмана населенность вращательного уровня равна $N = Cge^{ - \frac{E_{r}}{kT} }$. Подставляя в это соотношение $E_{r} = \frac{ \hbar^{2} J(J + 1)}{2I}, g = 2J + 1$, получим
$N = C(2J + 1) e^{ - \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} }$.
В максимуме функции $N(J)$ $\frac{dN}{dJ} = 0$. Тогда
$(2J + 1) \left ( - \frac{ \hbar^{2} (2J + 1) }{2IkT} \right ) e^{- \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} } +2e^{ - \frac{ \hbar^{2} J(J + 1) }{2IkT} } = 0$,
$\frac{(2J +1)^{2} \hbar^{2}}{2IkT} = 2; 2J + 1 = \sqrt{ \frac{4IkT}{ \hbar^{2} } }$, откуда получаем вращательное квантовое число, которому соответствует максимальная населенность
$J_{max} = \frac{ \sqrt{IkT}}{ \hbar} - \frac{1}{2}$.
Момент инерции $I = \mu d^{2}$, где $\mu = \frac{m_{N}m_{O}}{m_{N} + m_{O}}$ ($\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$). Подставив сюда $m_{N} = 14 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг = 2,32 \cdot 10^{-26} кг, m_{O} = 16 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} кг = 2,66 \cdot 10^{-26} кг$, получим $\mu = 1,237 \cdot 10^{-26} кг, I = 1,636 \cdot10^{-46} кг \cdot м^{2}$. Окончательно получим $J_{max} = 13,8$, или, округлив до ближайшего целого числа, получим $J_{max} = 14$.
