2023-06-01
С помощью Формулы Планка доказать закон Стефана-Больцмана и вычислить постоянную Стефана-Больцмана.
Решение:
Подставим формулу Планка в $M_{ \nu T } = \frac{dM_{e}}{d \nu }$ и выполним интегрирование, сделав замену переменной $x = \frac{ h \nu }{kT}, d \nu = \frac{kT dx}{h}, \nu = \frac{kTx}{ h}$:
$M_{0}^{e} = \int_{0}^{ \infty} M_{ \nu T}^{0} d \nu = \int_{0}^{ \infty} \frac{2 \pi h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{ \frac{h \nu }{kT} } - 1 } d \nu = \frac{2 \pi h}{c^{2} } \int_{0}^{ \infty} \frac{k^{4}T^{4}}{h^{4} } \frac{x^{3}dx}{e^{x} - 1 } = \frac{2 \pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}} \int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx }{e^{x} - 1 }$
Значение интеграла $\int_{0}^{ \infty} \frac{x^{3}dx}{e^{x} - 1} = \frac{ \pi^{4}}{15}$, поэтому получим:
$M_{0}^{e} = \frac{2 \pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}} \frac{ \pi^{4}}{15} = \frac{2 \pi^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}} T^{4} = \sigma T^{4}$,
здесь введено обозначение:
$\sigma = \frac{2 \pi^{5}k^{4} }{15c^{2}h^{3} } = \frac{2 \cdot 3,14^{5} \cdot (1,38 \cdot 10^{-23} )^{4}}{15 \cdot (3 \cdot 10^{8})^{2} \cdot (6,62 \cdot 10^{-34})^{3}} = 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4}}$.
Таким образом, теоретическое значение постоянной Стефана-Больцмана $\sigma$ совпадает с экспериментальным.