2021-06-14
На $pV$-диаграмме, изображенной на рисунке, показано изменение состояния одного моля идеального одноатомного газа, используемого в качестве рабочего вещества теплового двигателя. Отношение максимальной абсолютной температуры газа к его минимальной температуре в данном цикле равно $n = 4$. Во сколько раз отличается КПД $\eta$ этого цикла от максимально возможного при заданном значении $n$?
Решение:
Как известно, коэффициент полезного действия цикла равен отношению работы, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты, полученному газом от нагревателя за то же время. На участке 1-2 объем газа увеличивается при одновременном увеличении его давления, работа газа на этом участке равна
$A_{12} = \frac{(p_{1} + p_{2} )(V_{2} - V_{1} )}{2}$.
На участке 2-3 газ работы не совершает, а на участке 3-1 работа отрицательна и равна
$A_{31} =(V_{1} - V_{2})p_{1}$.
Таким образом, работа газа за цикл равна
$A = A_{12} + A_{31} = \frac{(p_{2} - p_{1} )(V_{2} - V_{1} )}{2}$.
Определим теперь количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя. На участке 1-2 газ совершает работу, при этом его давление и объем, а с ними температура и внутренняя энергия газа должны возрастать. Поэтому на этом участке газ должен получать тепло. На основании первого закона термодинамики,
$Q_{12} = A_{12} + \Delta U_{12} = A_{12} + 1,5R(T_{2} - T_{1})$.
На втором участке температура газа уменьшается, и газ не совершает работы; следовательно, на этом участке газ должен отдавать тепло холодильнику. Можно доказать, что и на третьем участке газ отдает тепло холодильнику. Таким образом, за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{12}$. Легко видеть, что в точке 1 температура газа минимальна, а в точке 2 - максимальна, поэтому $\frac{T_{2} }{T_{1} } = n$. В то же время, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, температура газа в точке 3 равна $T_{3} = \frac{p_{1}V_{2}}{R}$. Поскольку на участке 2-3 газ охлаждается изохорически, а на участке 3-1 изобарически, $T_{3} = \frac{T_{1}V_{2} }{V_{1} } = \frac{p_{1}T_{2} }{p_{2} }$. Отсюда, с учетом того, что $\frac{p_{1} }{V_{1} } = \frac{p_{2} }{V_{2} }$ (точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат $pV$ - диаграммы), получим
$T_{3} = \sqrt{T_{1}T_{2}} = \sqrt{n} T_{1}$.
Тогда
$A = 0,5RT_{1}(\sqrt{n} - 1)^{2}$,
$Q_{12} = 2RT_{1}(n - 1)$,
$\eta = \frac{A}{Q_{12} } = \frac{ \sqrt{n} - 1 }{4 ( \sqrt{n} + 1 ) }$.
Максимально достижимый КПД, получающийся при использовании цикла Карно, равен
$\eta_{к} = 1 - \frac{T_{х} }{T_{н} }$,
где $T_{y}$ - температура нагревателя ($T_{1}$), а $T_{х}$ - холодильника ($T_{2}$). Следовательно, искомое отношение равно
$\frac{ \eta_{к}}{ \eta } = \frac{ 4( \sqrt{n} + 1 )^{2} }{n} = 9$.