2021-04-05
Какова оптическая сила линзы, с помощью которой можно получить увеличенное или уменьшенное изображение предмета на экране, находящемся от него на расстоянии $L = 0,9 м$, если отношение размеров получаемых изображений $\alpha = 4$?
Решение:
Поскольку мнимое изображение нельзя получить на экране, то изображение в обоих случаях действительное. Тогда $d > F$. Но, учитывая, что $\alpha > 1$, приходим к такому выводу:
$F < d_{1} < 2F, 2F < d_{2} < \infty$,
где $d_{1}$ - меньший, а $d_{2}$ - больший корень уравнения
$\frac{d^{2}}{d - F} = L$.
Кроме того,
$\frac{d_{2} - F}{d_{1} - F } = \alpha$.
Очевидно, получаем уравнение
$\frac{ \frac{L}{2} + \sqrt{ \frac{L^{2}}{4} - FL} - F}{ \frac{L}{2} - \sqrt{ \frac{L^{2} }{4} - FL } - F } = \alpha$.
Сначала уничтожаем иррациональность в знаменателе:
$\frac{ \left ( \frac{L}{2} - F + \sqrt{ \frac{L^{2} }{4} - FL } \right )^{2} }{F^{2}} = \alpha$.
Затем извлекаем арифметический корень:
$\frac{L}{2} - F + \sqrt{ \frac{L^{2} }{4} - FL } = F \sqrt{ \alpha }$, или $\sqrt{ \frac{L^{2} }{4} - FL } = F( 1 + \sqrt{ \alpha } ) - \frac{1}{2}L$.
После возведения последнего уравнения в квадрат оно существенно упрощается:
$F^{2} (1 + \sqrt{ \alpha } )^{2} = FL \sqrt{ \alpha }$,
откуда получаем
$F = \frac{L \sqrt{ \alpha }}{(1 + \sqrt{ \alpha} )^{2} }$.
Тогда искомая оптическая сила линзы равна
$D = \frac{1}{F} = \frac{(1 + \sqrt{ \alpha } )^{2} }{L \sqrt{ \alpha } } = 5 дптр$.