2020-12-06
На столе стоит горящая свеча. Школьник с помощью тонкой собирающей линзы получил на стене резкое изображение пламени свечи и обнаружил, что, переместив линзу к стене на расстояние $\Delta l = 0,3 м$, можно получить на стене еще одно резкое изображение пламени. Определите фокусное расстояние линзы $f$. Расстояние от горящей свечи до стены $L = 0,9 м$.
Решение:
При фиксированном расстоянии между свечой и стеной, превышающем $4f$, существуют два положения линзы, при которых она дает на стене резкое изображение пламени. Это следует из того, что формула тонкой линзы $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$, связывающая расстояние от предмета до линзы $a$, расстояние от линзы до изображения $b$ и фокусное расстояние линзы $f$, симметрична относительно $a$ и $b$: при замене $a_{1} = b, b_{1} = a$ эта формула остается справедливой. Построение изображения пламени свечи показано на рисунке, где упомянутые положения линзы изображены сплошной и штриховой линиями, а через AA и ВВ обозначены плоскости объекта и изображения, соответственно. Видно, что когда линза занимает ближнее к пламени положение, то она дает увеличенное изображение (сплошные линии), а если дальнее от пламени, то уменьшенное изображение (штриховые линии). Кроме того, справедливы соотношения $a + b = L, a - b = \Delta l$. Решая записанную систему уравнений, находим, что $f = \frac{L^{2} - \Delta l^{2} }{4L}$.
Ответ. $f = \frac{L^{2} - \Delta l^{2} }{2L} = 0,2 м$.