Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1353
2016-10-21 
В цилиндре с зеркальным дном и зеркальным поршнем находится один фотон, импульс которого направлен перпендикулярно поверхности поршня, а частота равна $\omega_{0}$. Поршень начинают медленно передвигать и останавливают, когда объём сосуда уменьшается в $k$ раз. Чему будет равна частота фотона? Считайте, что длина волны фотона много меньше размеров сосуда, а импульс фотона много меньше импульса поршня. ^
Решение:
Рассмотрим отражение фотона от движущегося поршня, причем будем считать поршень нерелятивистской частицей массой $m$. Пусть $v$ и $\omega$ — скорость поршня и частота фотона до столкновения, $v^{ \prime}$ и $\omega^{ \prime}$ — после столкновения. Направим ось X в сторону движения поршня и запишем законы сохранения импульса и энергии в процессе столкновения. Учитывая, что энергия фотона даётся формулой $E_{f} = \hbar \omega$, а импульс — формулой $p_{f} = \frac{ \hbar \omega}{c}$, получим:
$mv - \frac{ \hbar \omega }{c} - nv^{ \prime} + \frac{ \hbar \omega}{c}, \frac{mv^{2}}{2} + \hbar \omega = \frac{ mv^{ \prime 2}}{2} + \hbar \omega^{ \prime}$.
Так как $\frac{ \hbar \omega}{c} \ll mv$, то $v \approx v^{ \prime}, \omega \approx \omega^{ \prime}$, и
$\frac{ \omega^{ \prime} - \omega}{ \omega^{ \prime} + \omega} = \frac{v+v^{ \prime}}{2c} \approx \frac{v}{c}$,
откуда для изменения частоты фотона $\Delta \omega = \omega^{ \prime} — \omega$ имеем:
$\Delta \omega \approx \frac{2v}{c} \omega$.
Если в некоторый момент времени $t$ расстояние между поршнем и дном цилиндра равно $L$, то интервал между двумя последовательными столкновениями фотона с
поршнем равен $\Delta t = \frac{2L}{c}$, а изменение расстояния между поршнем и дном за время $\Delta t$ составляет
$\Delta L = - v \Delta t = - \frac{2v}{c}L$.
Следовательно,
$\frac{ \Delta L}{L} = - \frac{2v}{c} = - \frac{ \Delta \omega}{ \omega}$,
то есть $\omega \Delta L + \Delta \omega L = 0$. Отсюда $\Delta( \omega L) = 0$, а значит, $\omega L = const$. Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты для одномерного «однофотонного газа».
Если объём цилиндра уменьшается в $k$ раз, то и его длина уменьшается во столько же раз. Значит, в соответствии с уравнением адиабаты, частота фотона должна возрасти в $k$ раз, то есть $\omega = k \omega_{0}$к.
В цилиндре с зеркальным дном и зеркальным поршнем находится один фотон, импульс которого направлен перпендикулярно поверхности поршня, а частота равна $\omega_{0}$. Поршень начинают медленно передвигать и останавливают, когда объём сосуда уменьшается в $k$ раз. Чему будет равна частота фотона? Считайте, что длина волны фотона много меньше размеров сосуда, а импульс фотона много меньше импульса поршня. ^
Решение:
Рассмотрим отражение фотона от движущегося поршня, причем будем считать поршень нерелятивистской частицей массой $m$. Пусть $v$ и $\omega$ — скорость поршня и частота фотона до столкновения, $v^{ \prime}$ и $\omega^{ \prime}$ — после столкновения. Направим ось X в сторону движения поршня и запишем законы сохранения импульса и энергии в процессе столкновения. Учитывая, что энергия фотона даётся формулой $E_{f} = \hbar \omega$, а импульс — формулой $p_{f} = \frac{ \hbar \omega}{c}$, получим:
$mv - \frac{ \hbar \omega }{c} - nv^{ \prime} + \frac{ \hbar \omega}{c}, \frac{mv^{2}}{2} + \hbar \omega = \frac{ mv^{ \prime 2}}{2} + \hbar \omega^{ \prime}$.
Так как $\frac{ \hbar \omega}{c} \ll mv$, то $v \approx v^{ \prime}, \omega \approx \omega^{ \prime}$, и
$\frac{ \omega^{ \prime} - \omega}{ \omega^{ \prime} + \omega} = \frac{v+v^{ \prime}}{2c} \approx \frac{v}{c}$,
откуда для изменения частоты фотона $\Delta \omega = \omega^{ \prime} — \omega$ имеем:
$\Delta \omega \approx \frac{2v}{c} \omega$.
Если в некоторый момент времени $t$ расстояние между поршнем и дном цилиндра равно $L$, то интервал между двумя последовательными столкновениями фотона с
поршнем равен $\Delta t = \frac{2L}{c}$, а изменение расстояния между поршнем и дном за время $\Delta t$ составляет
$\Delta L = - v \Delta t = - \frac{2v}{c}L$.
Следовательно,
$\frac{ \Delta L}{L} = - \frac{2v}{c} = - \frac{ \Delta \omega}{ \omega}$,
то есть $\omega \Delta L + \Delta \omega L = 0$. Отсюда $\Delta( \omega L) = 0$, а значит, $\omega L = const$. Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты для одномерного «однофотонного газа».
Если объём цилиндра уменьшается в $k$ раз, то и его длина уменьшается во столько же раз. Значит, в соответствии с уравнением адиабаты, частота фотона должна возрасти в $k$ раз, то есть $\omega = k \omega_{0}$к.
