Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1342
2016-10-21 
В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления $n = 1,5$. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega = 1 рад/с$, и при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной $h = 30 см$. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения $g= 10 м/с^{2}$, поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.
Решение:
При вращении жидкости вместе со стаканом её поверхность искривляется (см. рис.), вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на её поверхности на расстоянии г от оси вращения $O_{1}O$. На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и суммарная сила давления $\vec{N}$ со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью $\omega$, сообщая ему центростремительное ускорение. Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид:
$m \omega^{2} r = N \sin \alpha, mg = N \cos \alpha$,
где $\alpha$ — угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда $tg \alpha = \omega^{2}r /g$.
Луч света, идущий вдоль оси вращения $O_{1}O$, не преломляется. Рассмотрим ход луча ABC, преломляющегося в точке В на небольшом расстоянии $r$ от оси вращения. В соответствии с законом преломления света $\sin \alpha = n \sin \beta$. Углы $\alpha, \beta$ и $\gamma = \alpha - \beta$ можно считать малыми, так что $\alpha \approx \sin \alpha \approx tg \alpha; \beta \approx \sin \beta, \gamma \approx tg \gamma$. Отсюда
$\alpha \approx \frac{ \omega^{2} r}{g}$,
и
$\gamma = \alpha - \beta \approx \alpha - \frac{ \alpha}{n} = \frac{ \omega^{2} r}{g} \cdot \frac{n-1}{n}$.
Далее найдём расстояние ОС от оси вращения до точки падения преломлённого луча на дно стакана:
$OC = OD + DC \approx r + \gamma h = r \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )$.
Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии от оси $O_{1}O$, меньшем $r$, не преломлялись и попадали в круг радиуса г на дне, то есть энергия этого пучка распределялась по площади $S_{0} = \pi r^{2}$. После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом ОС, то есть энергия пучка распределится по площади
$S_{1} = \pi (OC)^{2} = \pi r^{2} \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )^{2}$.
Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в
$k = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )^{-2} = (1 + 0,01)^{-2} \approx 0,98 раз$,
то есть уменьшится на
$\delta \approx \frac{2 \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} = 2%$.
В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления $n = 1,5$. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega = 1 рад/с$, и при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной $h = 30 см$. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения $g= 10 м/с^{2}$, поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.
Решение:
При вращении жидкости вместе со стаканом её поверхность искривляется (см. рис.), вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на её поверхности на расстоянии г от оси вращения $O_{1}O$. На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и суммарная сила давления $\vec{N}$ со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью $\omega$, сообщая ему центростремительное ускорение. Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид:
$m \omega^{2} r = N \sin \alpha, mg = N \cos \alpha$,
где $\alpha$ — угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда $tg \alpha = \omega^{2}r /g$.
Луч света, идущий вдоль оси вращения $O_{1}O$, не преломляется. Рассмотрим ход луча ABC, преломляющегося в точке В на небольшом расстоянии $r$ от оси вращения. В соответствии с законом преломления света $\sin \alpha = n \sin \beta$. Углы $\alpha, \beta$ и $\gamma = \alpha - \beta$ можно считать малыми, так что $\alpha \approx \sin \alpha \approx tg \alpha; \beta \approx \sin \beta, \gamma \approx tg \gamma$. Отсюда
$\alpha \approx \frac{ \omega^{2} r}{g}$,
и
$\gamma = \alpha - \beta \approx \alpha - \frac{ \alpha}{n} = \frac{ \omega^{2} r}{g} \cdot \frac{n-1}{n}$.
Далее найдём расстояние ОС от оси вращения до точки падения преломлённого луча на дно стакана:
$OC = OD + DC \approx r + \gamma h = r \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )$.
Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии от оси $O_{1}O$, меньшем $r$, не преломлялись и попадали в круг радиуса г на дне, то есть энергия этого пучка распределялась по площади $S_{0} = \pi r^{2}$. После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом ОС, то есть энергия пучка распределится по площади
$S_{1} = \pi (OC)^{2} = \pi r^{2} \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )^{2}$.
Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в
$k = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \left ( 1 + \frac{ \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} \right )^{-2} = (1 + 0,01)^{-2} \approx 0,98 раз$,
то есть уменьшится на
$\delta \approx \frac{2 \omega^{2} h}{g} \cdot \frac{n-1}{n} = 2%$.
