Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1193
2016-10-20 
Над одним молем идеального одноатомного газа совершают процесс 1-2-3-4-1 (см. рисунок), причём газ получает от нагревателя за один цикл количество теплоты $Q$. Какое количество теплоты будет получать газ за один цикл, если совершать над ним процесс 2-3-4-А-B-C-2? Известно, что $T_{3} = 16T_{2}, T_{2} = T_{4}$, $B$ -точка пересечения изотермы $T = T_{2}$ с прямой 1-3, проходящей через начало координат $pV$-диаграммы. Ответ выразить через $Q$.
Решение:
Рассмотрим сначала исходный цикл и выразим сообщаемое газу количество теплоты через другие параметры системы. Из первого начала термодинамики $( \Delta Q = \Delta U + \Delta A)$ следует, что теплота сообщается газу на участках 1-2 и 2-3. Значит, количество теплоты, сообщённое газу за один цикл:
$Q = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1}) + \frac{5}{2} \nu R(T_{3} - T_{2})$.
Выразим температуру $T_{2}$ через $T_{1}$. Для этого рассмотрим участки 1-2 и 3-4 и запишем для них закон Шарля:
$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}, \frac{p_{3}}{T_{3}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}$,
причём $p_{2} = p_{3}, p_{1} = p_{4}, T_{2} = T_{4}$. Отсюда последовательно получаем:
$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}, \frac{p_{1}}{T_{2}} = \frac{p_{2}}{T_{3}}, \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{3}}, T_{2} = \sqrt{T_{1}T_{3}}$,
откуда с учётом того, что $T_{3} = 16T_{1}$, находим, что $T_{2} = 4T_{1}$. Теперь количество теплоты $Q$ также можно выразить через $T_{1}$:
$Q = \frac{3}{2} \nu R (4T_{1}-T_{1}) + \frac{5}{2} \nu R (16T_{1}-4T_{1}) = \frac{69}{2} \nu RT_{1}$.
Рассмотрим далее цикл 2-3-4-А-В-С-2. Теплота $Q_{1}$ сообщается газу на участках C-2, 2-3 и А-В. Очевидно, что $Q_{1} = Q — Q_{1C} + Q_{AB}$, где $Q_{1C} = \frac{3}{2} \nu R (T_{C} - T_{1})$, а $Q_{AB} = \nu R(T_{B} - T_{A})$. Для того, чтобы сравнить $Q_{1}$ и $Q$, выразим $T_{A}, T_{B}$ и $T_{C}$ через $T_{1}$. По аналогии с циклом 1-2-3-4 и с учётом того, что $T_{B} = T_{2} = 4T_{1}$, можно утверждать, что в цикле 1-С-В-А-1
$T_{A} = \sqrt{T_{1}T_{B}} = \sqrt{T_{1}T_{2}} = 2T_{1} = T_{C}$.
Подставив найденные значения температур в выражение для $Q_{1}$, получим:
$Q_{1} = \frac{69}{2} \nu RT_{1} - \frac{3}{2} \nu R(2T_{1}-T_{1}) + \frac{3}{2} \nu R(4T_{1}-2T_{1}) = \frac{72}{2} \nu RT_{1}$.
Учитывая, что $\nu RT_{1} = \frac{2}{69}Q$. приходим к окончательному ответу:
$Q_{1} = \frac{24}{23}Q$.
Над одним молем идеального одноатомного газа совершают процесс 1-2-3-4-1 (см. рисунок), причём газ получает от нагревателя за один цикл количество теплоты $Q$. Какое количество теплоты будет получать газ за один цикл, если совершать над ним процесс 2-3-4-А-B-C-2? Известно, что $T_{3} = 16T_{2}, T_{2} = T_{4}$, $B$ -точка пересечения изотермы $T = T_{2}$ с прямой 1-3, проходящей через начало координат $pV$-диаграммы. Ответ выразить через $Q$.
Решение:
Рассмотрим сначала исходный цикл и выразим сообщаемое газу количество теплоты через другие параметры системы. Из первого начала термодинамики $( \Delta Q = \Delta U + \Delta A)$ следует, что теплота сообщается газу на участках 1-2 и 2-3. Значит, количество теплоты, сообщённое газу за один цикл:
$Q = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2} \nu R (T_{2} - T_{1}) + \frac{5}{2} \nu R(T_{3} - T_{2})$.
Выразим температуру $T_{2}$ через $T_{1}$. Для этого рассмотрим участки 1-2 и 3-4 и запишем для них закон Шарля:
$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}, \frac{p_{3}}{T_{3}} = \frac{p_{4}}{T_{4}}$,
причём $p_{2} = p_{3}, p_{1} = p_{4}, T_{2} = T_{4}$. Отсюда последовательно получаем:
$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}, \frac{p_{1}}{T_{2}} = \frac{p_{2}}{T_{3}}, \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{3}}, T_{2} = \sqrt{T_{1}T_{3}}$,
откуда с учётом того, что $T_{3} = 16T_{1}$, находим, что $T_{2} = 4T_{1}$. Теперь количество теплоты $Q$ также можно выразить через $T_{1}$:
$Q = \frac{3}{2} \nu R (4T_{1}-T_{1}) + \frac{5}{2} \nu R (16T_{1}-4T_{1}) = \frac{69}{2} \nu RT_{1}$.
Рассмотрим далее цикл 2-3-4-А-В-С-2. Теплота $Q_{1}$ сообщается газу на участках C-2, 2-3 и А-В. Очевидно, что $Q_{1} = Q — Q_{1C} + Q_{AB}$, где $Q_{1C} = \frac{3}{2} \nu R (T_{C} - T_{1})$, а $Q_{AB} = \nu R(T_{B} - T_{A})$. Для того, чтобы сравнить $Q_{1}$ и $Q$, выразим $T_{A}, T_{B}$ и $T_{C}$ через $T_{1}$. По аналогии с циклом 1-2-3-4 и с учётом того, что $T_{B} = T_{2} = 4T_{1}$, можно утверждать, что в цикле 1-С-В-А-1
$T_{A} = \sqrt{T_{1}T_{B}} = \sqrt{T_{1}T_{2}} = 2T_{1} = T_{C}$.
Подставив найденные значения температур в выражение для $Q_{1}$, получим:
$Q_{1} = \frac{69}{2} \nu RT_{1} - \frac{3}{2} \nu R(2T_{1}-T_{1}) + \frac{3}{2} \nu R(4T_{1}-2T_{1}) = \frac{72}{2} \nu RT_{1}$.
Учитывая, что $\nu RT_{1} = \frac{2}{69}Q$. приходим к окончательному ответу:
$Q_{1} = \frac{24}{23}Q$.
