Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1185
2016-10-20 
Если в трубку с площадью поперечного сечения $S$, вставленную через пробку в горлышко бутыли объёмом $V (V \gg Sl, l$ — длина трубки), бросить шарик массы $m$, плотно (с очень маленьким зазором) входящий в трубку, то он начинает колебаться вверх-вниз, сжимая газ в бутыли, как пружину (см. рисунок). Найдите период этих колебаний, считая, что в бутыли находится идеальный одноатомный газ. Атмосферное давление снаружи равно ро, трением и утечкой газа из бутыли при колебаниях шарика можно пренебречь.
Решение:
Поместим начало координатной оси $X$ в место трубки, соответствующее положению равновесия шарика. Тогда уравнение движения шарика будет иметь вид: $ma = S \Delta p$, где $a = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ — ускорение шарика, $\Delta p$ — отклонение от равновесного давления $p_{0} + \frac{mg}{S}$, возникающее в бутыли при смещении шарика на расстояние $x$ от положения равновесия. Найдём величину $\Delta p$, считая, что процесс колебаний шарика происходит без теплообмена газа в бутыли с внешней средой, то есть является адиабатическим.
Так как теплообмен отсутствует, то первое начало термодинамики, записанное для газа, имеет вид: $\Delta U = - p \Delta V$, где $\Delta U$ и $\Delta V$ — изменения внутренней энергии и объёма газа при смещении шарика на расстояние $x$. Для одноатомного газа, с учётом уравнения Менделеева — Клапейрона, $U = \frac{3}{2} \nu RT = \frac{3}{2} pV$. Поэтому $\Delta U = \frac{3}{2} p \Delta V + \frac{3}{2} V \Delta p$, и подставляя $\Delta U$ в первое начало термодинамики, получаем: $\Delta p = - \frac{5}{3} p \frac{ \Delta V}{V}$.
Подставим найденное $\Delta p$ в уравнение движения шарика, учитывая, что $\Delta V = Sx$:
$\frac{d^{2} x}{dt^{2}} = - \frac{5S^{2}px}{3mV} = - \frac{5S^{2}}{3mV } \left ( p_{0} + \frac{mg}{S} \right ) x$.
Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний, квадрат круговой частоты которых равен коэффициенту при $x$ в правой части: $\omega_{0}^{2} = \frac{5S^{2}}{3mV} \left ( p_{0} + \frac{mg}{S} \right )$. Отсюда
$T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3mV}{5S^{2}(p_{0} + (mg/S))}}$.
Заметим, что числовой коэффициент, входящий в выражение для $\Delta p$, представляет собой показатель адиабаты $\gamma$, который для одноатомного газа равен $5/3$. Его можно выразить из полученного нами ответа задачи: $\gamma = \frac{4 \pi^{2}mV}{T^{2}S^{2}(p_{0}+(mg/S))}$. Видно, что в правую часть последней формулы входят легко и весьма точно измеряемые величины — масса шарика, объём бутыли, площадь поперечного сечения трубки, период колебаний шарика и атмосферное давление. Таким образом, описанный в условии задачи прибор можно использовать для измерения показателя адиабаты у газов (не обязательно одноатомных), заполняя бутыль исследуемым газом и измеряя период колебаний шарика. Этот метод был предложен в 1928 г. немецким физиком Рухардтом и носит его имя. Современные модификации метода Рухардта позволяют измерять показатель адиабаты у различных газов с точностью до десятых долей процента.
Если в трубку с площадью поперечного сечения $S$, вставленную через пробку в горлышко бутыли объёмом $V (V \gg Sl, l$ — длина трубки), бросить шарик массы $m$, плотно (с очень маленьким зазором) входящий в трубку, то он начинает колебаться вверх-вниз, сжимая газ в бутыли, как пружину (см. рисунок). Найдите период этих колебаний, считая, что в бутыли находится идеальный одноатомный газ. Атмосферное давление снаружи равно ро, трением и утечкой газа из бутыли при колебаниях шарика можно пренебречь.
Решение:
Поместим начало координатной оси $X$ в место трубки, соответствующее положению равновесия шарика. Тогда уравнение движения шарика будет иметь вид: $ma = S \Delta p$, где $a = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ — ускорение шарика, $\Delta p$ — отклонение от равновесного давления $p_{0} + \frac{mg}{S}$, возникающее в бутыли при смещении шарика на расстояние $x$ от положения равновесия. Найдём величину $\Delta p$, считая, что процесс колебаний шарика происходит без теплообмена газа в бутыли с внешней средой, то есть является адиабатическим.
Так как теплообмен отсутствует, то первое начало термодинамики, записанное для газа, имеет вид: $\Delta U = - p \Delta V$, где $\Delta U$ и $\Delta V$ — изменения внутренней энергии и объёма газа при смещении шарика на расстояние $x$. Для одноатомного газа, с учётом уравнения Менделеева — Клапейрона, $U = \frac{3}{2} \nu RT = \frac{3}{2} pV$. Поэтому $\Delta U = \frac{3}{2} p \Delta V + \frac{3}{2} V \Delta p$, и подставляя $\Delta U$ в первое начало термодинамики, получаем: $\Delta p = - \frac{5}{3} p \frac{ \Delta V}{V}$.
Подставим найденное $\Delta p$ в уравнение движения шарика, учитывая, что $\Delta V = Sx$:
$\frac{d^{2} x}{dt^{2}} = - \frac{5S^{2}px}{3mV} = - \frac{5S^{2}}{3mV } \left ( p_{0} + \frac{mg}{S} \right ) x$.
Полученное уравнение представляет собой уравнение гармонических колебаний, квадрат круговой частоты которых равен коэффициенту при $x$ в правой части: $\omega_{0}^{2} = \frac{5S^{2}}{3mV} \left ( p_{0} + \frac{mg}{S} \right )$. Отсюда
$T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{3mV}{5S^{2}(p_{0} + (mg/S))}}$.
Заметим, что числовой коэффициент, входящий в выражение для $\Delta p$, представляет собой показатель адиабаты $\gamma$, который для одноатомного газа равен $5/3$. Его можно выразить из полученного нами ответа задачи: $\gamma = \frac{4 \pi^{2}mV}{T^{2}S^{2}(p_{0}+(mg/S))}$. Видно, что в правую часть последней формулы входят легко и весьма точно измеряемые величины — масса шарика, объём бутыли, площадь поперечного сечения трубки, период колебаний шарика и атмосферное давление. Таким образом, описанный в условии задачи прибор можно использовать для измерения показателя адиабаты у газов (не обязательно одноатомных), заполняя бутыль исследуемым газом и измеряя период колебаний шарика. Этот метод был предложен в 1928 г. немецким физиком Рухардтом и носит его имя. Современные модификации метода Рухардта позволяют измерять показатель адиабаты у различных газов с точностью до десятых долей процента.
