Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1113
2016-09-19 
В очень высокой $U$-образной трубке с внутренним диаметром $d = 1 см$ и радиусом закругления нижней части $R = 3 см$ находится $V_{0} = 50 см^{3}$ ртути плотностью $\rho = 13,6 г/см^{3}$ (см. рисунок). В левое колено трубки наливают $V_{1} = 2 л$ воды. На какое расстояние ртуть переместится вдоль трубки?
Решение:
По условию задачи диаметр трубки достаточно велик для того, чтобы можно было не учитывать капиллярных явлений. При наливании в левое колено трубки большого количества воды ртуть может переместиться настолько, что вода доберётся до низа трубки. Дальнейшее увеличение количества налитой воды не будет приводить к перемещению ртути, так как вода из левого колена через изогнутый участок будет перетекать в правое колено. При этом перетёкшая вода будет располагаться поверх ртути.
Выясним, хватит ли двух литров воды для того, чтобы часть воды перетекла из левого колена в правое. Сечение трубки равно $S = \pi d^{2}/4 \approx 0,785 см^{2}$. Общая длина столбика ртути в этой трубке составляет $V_{0}/S \approx 63,7 см$. Максимальное давление, которое может создать столбик ртути такой длины, равно $p_{рт} = \rho g V_{0}/S \approx 84,9 кПа$. Два литра воды плотностью $\rho_{0} = 1 г/см^{3}$ могут создать в вертикальной трубке максимальное давление $\rho_{в} = \rho_{0} gV_{1} /S \approx 249,7 кПа$. Так как $p_{в} > p_{рт}$, то это означает, что в процессе наливания воды ртуть сместится настолько, что её верхний уровень в том колене, куда налита вода, совпадёт с верхней точкой самого нижнего поперечного сечения трубки, и часть воды перетечёт в правое колено. Поскольку радиус закругления нижней части трубки по порядку величины сравним с её внутренним диаметром, то длину столбика оставшейся в левом колене ртути можно оценить из следующих соображений: по теореме Пифагора длина горизонтальной части поверхности ртути в этом колене равна $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} \approx 2,2 см$, но с учётом того, что ртутью заполнен не весь этот объём, а примерно $3/4$ его, в левой части трубки остаётся столбик с эффективной длиной, примерно равной $1,7 см$. Поэтому смещение ртути вдоль оси трубки составит: $L \approx \frac{V_{0}}{2} - 1,7 см \approx 31,8 см — 1,7 см \approx 30 см$.
В очень высокой $U$-образной трубке с внутренним диаметром $d = 1 см$ и радиусом закругления нижней части $R = 3 см$ находится $V_{0} = 50 см^{3}$ ртути плотностью $\rho = 13,6 г/см^{3}$ (см. рисунок). В левое колено трубки наливают $V_{1} = 2 л$ воды. На какое расстояние ртуть переместится вдоль трубки?
Решение:
По условию задачи диаметр трубки достаточно велик для того, чтобы можно было не учитывать капиллярных явлений. При наливании в левое колено трубки большого количества воды ртуть может переместиться настолько, что вода доберётся до низа трубки. Дальнейшее увеличение количества налитой воды не будет приводить к перемещению ртути, так как вода из левого колена через изогнутый участок будет перетекать в правое колено. При этом перетёкшая вода будет располагаться поверх ртути.
Выясним, хватит ли двух литров воды для того, чтобы часть воды перетекла из левого колена в правое. Сечение трубки равно $S = \pi d^{2}/4 \approx 0,785 см^{2}$. Общая длина столбика ртути в этой трубке составляет $V_{0}/S \approx 63,7 см$. Максимальное давление, которое может создать столбик ртути такой длины, равно $p_{рт} = \rho g V_{0}/S \approx 84,9 кПа$. Два литра воды плотностью $\rho_{0} = 1 г/см^{3}$ могут создать в вертикальной трубке максимальное давление $\rho_{в} = \rho_{0} gV_{1} /S \approx 249,7 кПа$. Так как $p_{в} > p_{рт}$, то это означает, что в процессе наливания воды ртуть сместится настолько, что её верхний уровень в том колене, куда налита вода, совпадёт с верхней точкой самого нижнего поперечного сечения трубки, и часть воды перетечёт в правое колено. Поскольку радиус закругления нижней части трубки по порядку величины сравним с её внутренним диаметром, то длину столбика оставшейся в левом колене ртути можно оценить из следующих соображений: по теореме Пифагора длина горизонтальной части поверхности ртути в этом колене равна $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} \approx 2,2 см$, но с учётом того, что ртутью заполнен не весь этот объём, а примерно $3/4$ его, в левой части трубки остаётся столбик с эффективной длиной, примерно равной $1,7 см$. Поэтому смещение ртути вдоль оси трубки составит: $L \approx \frac{V_{0}}{2} - 1,7 см \approx 31,8 см — 1,7 см \approx 30 см$.
