По кругу записаны $n \geq 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа отношение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений; а) не меньше $2n$; б) меньше $3n$.
Подробнее
Назовем натуральное число абсолютно простым, если оно простое и если при любой перестановке его цифр снова получается простое число. Докажите, что в записи абсолютно простого числа не может содержаться более трех различных цифр.
Подробнее
Последовательность $a_1, a_2, a_3, \cdots$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geq 1$ и $a_{4n+1} = 1$, $a_{4n+3} = 0$ при $n \geq 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Подробнее
Числа $1, 2, 3, \cdots, 2n-1, 2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ - числа первой группы, записанные в возрастающем порядке, и $a_1 > a_2 > a_n$ - числа второй группы в убывающем порядке. Докажите, что
$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n| = n^2$.
Подробнее
Докажите, что прямоугольную таблицу размером $m \times n$ клеток можно заполнить квадратами различных натуральных чисел так, чтобы суммы чисел в каждой строке и каждом столбце были также квадратами натуральных чисел.
Подробнее
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ выполнено неравенство
$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \cdots + \frac {n}{a_1 + \cdots + a_n} < 4 \left ( \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n} \right )$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{2} + Зx + |x + 3| = 0$.
Подробнее
Среди корней уравнения
$\frac{ \cos 2 \pi x}{1 + tg \pi x} = 0$
найти тот, который имеет наименьшее расстояние от числа $\sqrt{13}$ на числовой прямой.
Подробнее
Решить систему уравнений
$\begin{cases} 2^{3x + 1} + 2^{y - 2} = 3 \cdot 2^{y + 3x} \\ \sqrt{3x^{2} + 1 + xy} = \sqrt{x + 1} \end{cases}$
Подробнее
Решить уравнение
$6 \sin x - \frac{1}{6} = \sqrt{34 \sin x - \frac{35}{36} }$.
Подробнее
Решить неравенство
$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{|x| - 1} \geq \frac{2}{x - 1}$.
Подробнее
Из трех значений $a$: -1,2; -0,67; -0,66 найти все те значения, при каждом из которых уравнение
$(2^{a+4} + 15(x + a)) \left ( 1 + 2 \cos \left ( \pi \left ( a + \frac{x}{2} \right ) \right ) \right ) = 0$
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию $0 \leq x \leq 1$.
Подробнее
Решить уравнение
$2 \cos ( \sqrt{x} + \pi ) + 1 = 0$.
Подробнее
Решить неравенство
$\frac{1}{4} x^{ \frac{1}{2} log_{2} x } \geq 2^{ \frac{1}{4} log_{2}^{2} x }$.
Подробнее
Путь из села в город идет сначала по грунтовой дороге, а затем по шоссе. Из села в город в 7 часов утра выехал автомобилист, и одновременно с ним из города в село выехал мотоциклист. Мотоциклист двигался по шоссе быстрее чем по грунтовой дороге в $1 \frac{2}{3}$ раза, а автомобилист - в $1 \frac{1}{2}$ раза (движение обоих по шоссе и по грунтовой дороге считать равномерным). Они встретились в 9 часов 15 минут, автомобилист приехал в город в 11 часов, а мотоциклист приехал в село в 12 часов 15 минут. Определить, сможет ли автомобилист приехать в город до 11 часов 15 минут, если он весь путь из села в город будет ехать с первоначальной скоростью?
Подробнее